数值分析--线性代数方程组的直接解法4省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件.pptx

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一、线性方程组敏度分析 /*Sensitivity Analysis */
由实际问题得到方程组系数矩阵或者常数向量元素，本身会存在一定误差；这些初始数据误差在计算过程中就会向前传输，从而影响到方程组解。
初始数据误差和方程组近似解误差之间关系
例1 考查方程组：
准确解为
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设方程组存在扰动
此时解为
上例说明该方程组解对初始元素扰动非常敏感。
设方程组为
系数矩阵 和常数向量 扰动分别记为： 和
实际求解方程组为
第2页
假如 和 很小，而 很大，则称
方程组 为病态(/*ill-conditioned*/)方程组，
称系数矩阵 为关于求解方程组或求逆病态矩阵；
反之，假如 和 微小时， 也微小，则称
方程组 为良态(/*Well-conditioned*/)方程组，
称系数矩阵 为关于求解方程组或求逆良态矩阵。
病态方程组对任何算法都将产生数值不稳定性
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设 为可逆阵，则称
为矩阵 (或者对应方程组)条件数.
若矩阵范数取2-范数，则得到谱条件数：
若矩阵范数取1-范数，则得到1-条件数：
若矩阵范数取 -范数，则得到 -条件数
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假如 是正交矩阵，则
条件数性质(补充)
设

假如 为正交矩阵，则
设 和 是 按模最大和最小特征值，则
取 2-范数等号成立
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设 为可逆阵， 和 分别满
足方程组 和
其中 ，且 满足
则
其中 为满足条件 矩阵范数.
第6页
比如：
Hilbert矩阵就是一个著名病态矩阵
n
4
6
8
10
28375
+7
+10
+13
15514
1. 5E+7
+10
+13
28375
+7
+10
+13
对称正定矩阵
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