数学建模(5)省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件.pptx

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量纲分析法建模
数学应用中，经常处理不是“纯粹数”，而反应某一事物特征度量。
量纲分析(Dimensional Analysis)是20世纪初提出在物理领域中建立数学模型一个方法。
1、量纲齐次标准
(1)单位制
现在有几个不一样单位体系：
首先统一单位制（参考各类数学用表，词典等）
国际单位制（SI制） 由7个基本单位组成
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量纲分析法建模
物理量
单位
符号
长度
米
m
质量
千克
kg
时间
秒
s
电流强度
安培
A
温度
开尔文
k
光强
堪德拉
cd
物质量
摩尔
mol
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量纲分析法建模
其它物理量都是用上述7个单位复合，不过因为经常使用，故都有自己特殊名称：
物理量
单位
符号
力
牛顿
N(kgms-2)
能量
焦耳
J(kgm2s-2)
功率
瓦特
W(Js-1或kgm2s-3)
频率
赫兹
Hz(s-1)
压强
帕斯卡
Pa(Nm-2或kgm-1s-2)
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量纲分析法建模
(2)量纲：在力学中，任一物理量都能够表示为最基本物理量（质量M、长度L和时间T）组合形式，这种组合形式称为这一物理量量纲。
比如：
面积量纲是 L2
密度量纲是 ML-3
注：a:量纲是独立于单位，通惯用方括号表示取量纲运算，如[面积]＝ L2 [速度]＝LT-1等
b:有些物理量是无量纲，称为纯数字，如角度
[角度]＝M0L0T0
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量纲分析法建模
(3)量纲齐次标准：
用数学公式表示一个物理定律时，等号两端必须保持量纲一致，即[左边]＝[右边]，而且只有量纲相同项才能相比较、加减。
2、实例：
质量为m小球系在长度为l线一端，稍偏离平衡位置后小球在重力mg作用下（g为重力加速度）作往复摆动。忽略阻力，求摆动周期t表示式
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量纲分析法建模
问题分析：
本问题中所包括到物理量有：t、m、l、g
不妨假设相关系式：
t＝λmα1lα2gα3
α1、α2、α3为待定系数， λ是无量纲百分比系数
所以由量纲齐次标准
[t]=[m] α1[l] α2[g] α3
而 [t]=T [m]=M [l]=L [g]=LT-2
所以有量纲方程：
T＝M α1 L α2 ＋α3 T-2 α3
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量纲分析法建模
依据上述量纲方程，可得方程组
代入关系式，则有：
解方程组
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量纲分析法建模
上述例子抽象成普通情形：
问题包括到变量：t、m、l、g
假设关系式： f(t，m，l，g)＝0
ty1my2ly3gy4=π （π为无量纲常数） ①
变量量纲用基本量纲表示：
②
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量纲分析法建模
将②代入 ①式得：
(L0M0T1)y1 (L0M1T0)y2 (L1M0T2)y3 (L1M0T-2)y4＝ L0M0T0
即 Ly3+y4My2Ty1-2y4＝ L0M0T0
所以由量纲齐次标准：
方程组有一个基本解 y＝(y1,y2,y3,y4)T=(2,0,-1,1)T
代入原式得 t2l-1g= π
原式等价于 t2l-1g=π F（π）＝0
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