数学物理方程二阶线性偏微分方程的分类与总结-(1)省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件.pptx

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第四章 二阶线性偏微分方程
分类与总结
§3 三类方程比较
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在前面章节中，我们分别讨论了弦振动方程、热传导方程与拉普拉斯方程。这三类方程形状很特殊，它们是二阶线性偏微分方程三个经典代表。普通形式二阶线性偏微分方程之间共性和差异，往往能够从对这三类方程研究中得到。本章中，我们将以这三类方程知识为基础，研究普通形式二阶线性偏微分方程，并对这三类方程性质进行比较深入分类和总结。
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§ 两个自变量方程
§1 二阶线性偏微分方程分类
§ 两个自变量二阶线性
偏微分方程化简
§ 方程分类
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§1 二阶线性偏微分方程分类
遵照由简单到复杂认知规律，我们先研究两个自变量二阶线性偏微分方程分类问题。
前面碰到一维热传导方程、弦振动方程和二维拉普拉斯方程都是两个自变量二阶线性偏微分方程。不过它们形式特殊，若用(x,y)记自变量，普通二阶线性方程总能够写成以下形状
§1-1 两个自变量方程
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在前面弦振动方程达朗贝尔解法(行波法)学习中，我们已看到变量变换意义。变换是研究微分方程一个有效伎俩，经过适当变换往往能够把复杂方程转化为简单，把不易求解方程转化为轻易求解。
方程()二阶导数项
称为它主部。现在研究在什么样自变量变换下，方程主部能够得到简化。
§1-1 两个自变量方程
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§1-2 两个自变量二阶线性偏微分方程化简
设(x0,y0)是区域Ω内一点，在该点邻域内对方程(1)进行简化。为此我们作下面自变量变换
在高等数学中，我们已经知道：假如上述变换是二次连续可微，且雅可比行列式
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在(x0,y0)点不为零，那么在点(x0,y0)邻域内，变换()是可逆，也就是存在逆变换
也就是说，方程()能够采取新自变量ξ,η表示为
利用复合函数求导法则
§1-2 两个自变量二阶线性偏微分方程化简
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注意到()第一个和第三个等式形式完全相同，所以，假如我们能选择到方程
两个函数无关解φ1(x,y)和φ2(x,y)，那么，将变换取为ξ=φ1 (x,y)和η=φ2 (x,y)，方程()系数 。
这么就到达了简化方程()主部目标。下面考查这种选取可能性。
§1-2 两个自变量二阶线性偏微分方程化简
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我们知道，方程()求解能够转化为下述常微分方程在(x,y)平面上积分曲线问题：
设φ1(x,y)=c 是方程()一族积分曲线，则z=φ1(x,y)是方程()一个解。称方程()积分曲线为方程()特征线，方程()有时也称为方程()特征方程。
显然方程()能够分解为两个方程
§1-2 两个自变量二阶线性偏微分方程化简
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这么依据 符号不一样，我们能够选取对应变换代入方程() ，从而得到不一样化简形式
这三个方程分别称为二阶线性偏微分方程标准形式。
§1-2 两个自变量二阶线性偏微分方程化简
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