清华离散数学(第2版)：141省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件.pptx

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第14章 代数系统
二元运算及其性质
代数系统
几个经典代数系统
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二元运算及其性质
二元运算与一元运算定义
二元运算定义及其实例
一元运算定义及其实例
运算表示
二元运算性质
交换律、结合律、幂等律、分配律、吸收律
特异元素：单位元、零元、可逆元
消去律
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二元运算定义及其实例
设 S 为集合,函数 f : S×S→S 称为S上二元
运算, 简称为二元运算. 也称 S 对 f 封闭.
例1 (1) N上二元运算：加法、乘法.
(2) Z上二元运算：加法、减法、乘法.  
(3) 非零实数集 R*上二元运算: 乘法、除法.
(4) 设 S={ a1, a2, … , an }, ai ∘aj = ai ， ∘为S上二元运算.
(5) 设Mn(R)表示全部n 阶(n≥2)实矩阵集合，即
 
矩阵加法和乘法都是Mn(R)上二元运算.
(6) 幂集 P(S)上二元运算：∪、∩、－、.
(7) SS为S上全部函数集合, SS合成运算∘.
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一元运算定义与实例
设S为集合，函数 f : S→S 称为S上一元运算，简称为一元运算.
例2
(1) Z, Q 和 R上求相反数运算
(2) 非零有理数集Q*，非零实数集 R*上求倒数运算
(3) 复数集合C上求共轭复数运算
(4) 幂集P(S)上, 全集为S，求绝对补运算~ 
(5) A 为S上全部双射函数集合，ASS，求反函数
(6) 在 Mn(R) (n≥2)上求转置矩阵
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二元与一元运算表示
算符：∘, ∗, · , ,  等符号
表示二元或一元运算
对二元运算∘，假如 x 与 y 运算得到 z，记做 x∘y=z；
对一元运算∘, x 运算结果记作 ∘x
表示二元或一元运算方法：公式、 运算表
注意：在同一个问题中不一样运算使用不一样算符
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公式表示
例3 设 R 为实数集合，以下定义 R 上二元运算 ∗：
x, y∈R, x ∗ y = x.
那么 3 ∗ 4 = 3， ∗ (3) =
运算表（表示有穷集上一元和二元运算）
二元运算运算表 一元运算运算表
∘
a1 a2 … an
∘ai
a1
a2
.
.
an
a1∘a1 a1∘a2 … a1∘an
a2∘a1 a2∘a2 … a2∘an
. . .
. . .
an∘a1 an∘a2 … an∘an
a1
a2
.
.
an
∘a1
∘a2
.
.
∘an
实例
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运算表实例
例4 A=P({a,b}), , ∼分别为对称差和绝对补运算
（{a,b}为全集）
运算表 ∼运算表

 {a} {b} {a,b}
X
∼X

{a}
{b}
{a,b}
 {a} {b} {a,b}
{a}  {} {b}
{b} {a,b}  {a}
{a,b} {b} {a} 

{a}
{b}
{a,b}
{a,b}
{a}
{b}

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运算表实例(续)
例5 Z5= { 0, 1, 2, 3, 4 }, ,  分别为模 5 加法与乘法
运算表 运算表

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4
1 2 3 4 0
2 3 4 0 1
3 4 0 1 2
4 0 1 2 3
0
1
2
3
4
0 0 0 0 0
0 1 2 3 4
0 2 4 1 3
0 3 1 4 2
0 4 3 2 1
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二元运算性质
设 ∘ 为 S 上二元运算,
(1) 假如对于任意 x, yS 有
x ∘ y = y ∘ x,
则称运算在 S 上满足交换律.
(2) 假如对于任意 x, y, zS 有
(x ∘ y) ∘ z = x ∘ (y ∘ z),
则称运算在 S 上满足结合律. 
(3) 假如对于任意 xS 有
x ∘ x = x,
则称运算在 S 上满足幂等律.
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