离散数学代数系统及其子代数积代数省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件.pptx

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同类型与同种代数系统
子代数
积代数
代数系统及其子代数、积代数
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代数系统定义与实例
定义
非空集合 S 和 S 上 k 个一元或二元运算 f1, f2, … , fk 组成系统称为一个代数系统, 简称代数，记做 V=<S, f1, f2, … , fk>.
例： <Z,+>
有代数系统定义指定了S中特殊元素，称为特异元素或代数常数, .
例： <Z,+,0>
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实例
1. <N,+>, <Z,+,·>, <R,+,·>是代数系统，
+ 和 · 分别表示普通加法和乘法.
2. <Mn(R),+,·>是代数系统，
+ 和 · 分别表示n 阶 (n≥2) 实矩阵加法和乘法.
3. <Zn,,>是代数系统，Zn＝{0, 1, … , n-1}，
 和  分别表示模 n 加法和乘法，x,y∈Zn，
xy = (x＋y) mod n，xy = (xy) mod n
4. <P(S),∪,∩,~> 也是代数系统，
∪和∩为并和交，~为绝对补
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子代数
定义 设V=<S, f1, f2, … , fk> 是代数系统，B 是 S 非空子集 ，假如 B 对 f1, f2, … , fk 都是封闭，且 B 和 S 含有相同代数常数，则称 <B, f1, f2, … , fk> 是 V 子代数系统，简称 子代数.
例 < N ,+>是<Z,+> 子代数.(因为N对＋封闭，而且都没有代数常项)。一样， < N {0},+>是<Z,+> 子代数.
< N ,+,0>是<Z,+,0> 子代数.(因为N对＋封闭，而且都有相同代数常项0)
< N {0},+>不是<Z,+,0> 子代数.
说明：
对于任何代数系统 V ，其子代数一定存在.
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关于子代数术语
最大子代数 就是V 本身.
假如V 中全部代数常数组成集合 B，且 B 对V 中全部运算封闭，则 B 就组成了V 最小子代数.
最大和最小子代数称为V 平凡子代数.
若 B 是 S 真子集，则 B 组成子代数称为V 真子代数 .
例2 设V=<Z,+,0>，令 nZ = { nz | z∈Z}，n 为自然数，则 nZ 是 V 子代数.
当 n = 1 和 0 时，nZ 是 V 平凡子代数，其它都是 V 非平凡真子代数.
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积代数
定义 设 V1=<S1,o>和 V2=<S2,>是代数系统，其中 o
和  是二元运算. V1 与 V2 积代数 是V=<S1S2,∙>,
<x1,y1>, <x2,y2>S1S2 ,
<x1,y1> ∙ <x2,y2>=<x1ox2, y1y2>
例3 V1=<Z,+>, V2=<M2(R), ∙ >, 积代数< ZM2(R),o>
<z1,M1>, <z2,M2>ZM2(R) ,
<z1,M1> o <z2,M2> = <z1+z2, M1∙M2>
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积代数性质
定理 设 V1 = <S1,o>和 V2 = <S2,>是代数系统，其中 o 和
是二元运算. V1 与 V2 积代数是 V=<S1S2,∙>
(1) 若 o 和  运算是可交换，那么∙ 运算也是可交换
(2) 若 o 和  运算是可结合，那么∙ 运算也是可结合
(3) 若 o 和  运算是幂等，那么∙ 运算也是幂等
(4) 若 o 和  运算分别含有单位元 e1 和 e2，那么∙ 运算
也含有单位元<e1,e2>
(5) 若 o 和  运算分别含有零元 1 和 2，那么∙ 运算
也含有零元< 1, 2>
(6) 若 x 关于 o 逆元为 x1, y 关于  逆元为 y1，那
么<x,y>关于∙ 运算也含有逆元<x1,y1>
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代数系统同态与同构
同态映射定义
同态映射分类
单同态、满同态、同构
自同态
同态映射性质
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同态映射定义
定义 设 V1=<S1,∘>和 V2=<S2,>是代数系统，其中 ∘ 和 是二元运算. f: S1S2, 且x,yS1, f (x∘y) =
f(x) f( y), 则称 f 为V1到 V2 同态映射，简称同态.
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更广泛同态映射定义
定义 设 V1=<S1,∘, ∙ >和 V2=<S2,, ◊>是代数系统，其中 ∘和 是二元运算. f: S1S2, 且x,yS1
f (x ∘ y) = f(x)  f(y) , f (x ∙ y) = f(x) ◊ f(y)
则称 f 为V1到 V2 同态映射，简称同态.
设 V1=<S1, ∘,∙, ∆>和 V2=<S2,, ◊, ∇>是代数系统，其中∘ 和  是二元运算. ∆ 和 ∇是一元运算， f: S1S2, 且x,yS1
f (x∘y)=f(x)f(y), f (x∙y)=f(x)◊f(y), f (∆ x)=∇f(x)
则称 f 为V1到 V2 同态映射，简称同态.
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