经济数学基础省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件.pptx

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曲线弧AB是单增曲线. 但从A到C曲线是向下弯
(或凸); 从C到B曲线是向上弯(或凹). 显然, 曲线弯曲方向和弯曲方向转变点对我们研究函数性态是十分主要. 这就是下面讨论凹性与拐点.
§ 曲线凹性与拐点
B
A
•
C
1
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定义1 设函数 y = ƒ(x)在区间(a , b)内可导. 若
该函数曲线在(a, b)内总是位于其上任意一点
切线上方, 则称该曲线在 (a, b)内是上凹;
区间(a, b)为该曲线上凹区间.
o
x
y
y =ƒ(x)

2
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若该函数曲线在(a , b)内总是位于其上任意一点切线下方, 则称该曲线在(a , b)内是下凹; 区间(a , b)为该曲线下凹区间.
人们常将曲线所含有上凹或下凹性质称为曲线
凹性. 定义1等价定义为
o
x
y
y=ƒ(x)
定义 若曲线y = ƒ(x)在区间(a, b)内连续,
则称曲线在该区间内是下 (上)凹.
3
第3页
o
x
y
•
•
A
B
o
x
y
A
B
•
•
显然用定义来判别曲线凹性是极不方
便. 由定义1知下凹曲线从点 A移到点 B 时,
对应切线斜率 单调降低.
A
A
B
B
而上凹曲线从点A移到点B时, 对应切线斜率
单调增加. 从而当 存在时, 则可用
二阶导数符号来判别曲线凹性.
y = ƒ(x)
y = ƒ(x)
4
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定理11 设函数y = ƒ(x)在区间(a , b)内含有二阶导数, 则
+
–
o
x
y
a
•
•
b
y= ƒ(x)
•
?分析: 只需证实 即可.
}
5
第5页
6
第6页
o
x
y
y= ƒ(x)
a
A
B
b
c
C

定义2 设函数 y = ƒ(x)在区间(a, b)内连续,
则曲线 y = ƒ(x) 在该区间内上凹(从 A 到 C)
与下凹 (从C到B)部分分界点C(c, ƒ(c))称为曲线拐点.
注1:拐点是曲线上点,从而拐点坐标需用横坐标与
纵坐标同时表示,
点表示方法不一样.
例30 判断曲线 凹性, 并求其拐点.
•
o
x
y
•
7
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注2:由拐点定义知,?
•
o
x
y
定理12 (拐点必要条件) 若函数 y = ƒ(x)在 处二阶导数
存在, 且点 为曲线y = ƒ(x)拐点, 则
8
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注3: 所确定点 即
即这些点只是可能拐点, 是否真为拐点呢?
是点为 拐点必要条件而非充分条件.
y = ƒ(x)在 处 且在 两
侧二阶导数变号, 则点 为曲线 y = ƒ(x)
拐点. 在 两侧二阶导数保号, 则点 不
为曲线 y = ƒ(x)拐点.
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注4:有两种特殊情形要注意:
(1)ƒ(x)在 处一阶导数存在而二阶导数不存在. 假如在点
左右邻近二阶导数存在且符号相反, 则 为拐点; 若符号相同, 则不是拐点.
(2) ƒ(x)在 处连续, 而一、二阶导数都不存在. 假如
在点 左右邻近二阶导数存在且符号相反, 则 为拐
点; 若符号相同, 则不是拐点.
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