定积分的元素法.ppt

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微元法，面积，弧长，旋转体的体积，定积分在物理方面的应用，
重点
上一章，已经系统地介绍了定积分的基本理论和计算方法。在这一章中，将利用这些知识来分析解决一些实际问题。定积分的应用很广泛，在自然科学和生产实践中有许多实际问题最后都归结为定积分问题。本章不仅对一些几何物理量导出计算公式，更重要的是介绍运用“微元法”将所求的量归结为计算某个定积分的分析方法。
难点
基本要求
微元法，参数方程确定的曲线所围的面积，定积分在物理方面的应用。
正确理解和掌握微元法的基本思想，并会灵活运用它。
会用直角坐标、极坐标、参数方程所给出的三种求积公式求出一些常见图形的面积。
会求旋转体的体积
会求平面曲线的弧长
会用定积分解决物理方面的实际问题。
第一节 定积分的微元法
通过对不均匀量（如曲边梯形的面积，变速直线运动的路程）的分析，采用“分割、近似代替、求和、取极限”四个基本步骤确定了它们的值，并由此抽象出定积分的概念，我们发现，定积分是确定众多的不均匀几何量和物理量的有效工具。那么，究竟哪些量可以通过定积分来求值呢？我们先来回顾一下前章中讲过的方法和步骤是必要的。
求Ｕ的步骤
分
用分点
将
区间分成n个小区间
粗
把Ｕ在小区间上的局部量
用某个函数 f ( x) 在
的值与
之积代替
和
把局部量的近似值累加得到总量的近似值
即
设量Ｕ非均匀地分布 [ a ,b ]上
由此可知，若某个非均匀量Ｕ在区间[a,b]上满足两个条件：
（1） 总量在区间上具有可加性，即把区间分成几个小区间时总量就等于各个小区间上的局部量之和，
（2）局部量可用
近似表示
它们之间只相差一个
的高阶无穷小
不均匀量Ｕ就可以用定积分来求得
精
这是建立所求量的积分式的基本方法
分析其实质，不难将四步简化为两步
1
第一步 “分割取近似”
2
含“分”、“粗”两步即将区间分成子区间
3
在其上用均匀变化近似代替非均匀变化
4
求得局部量的近似值
5
它对应着积分表达式中的被积式
6
第二步“求和取极限”
7
含“和”、“精”两步: 各局部量的近似值相加并取极限得到总量的准确值
8
即对被积式作积分
。求微元
1
写出典型小区间
2
上的局部量
3
的近似值
4
这就是局部量的微元
5
。求积分
6
即把微元
7
在区间 [ a , b ] 上
8
相当于把
作积分表达式
求它在 [ a , b ] 上的定积分
即
这就是微元法
“无限积累”起来