对称性、守恒律和简并性.ppt

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单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。您的内容已经简明扼要，字字珠玑，但信息却千丝万缕、错综复杂，需要用更多的文字来表述；但请您尽可能提炼思想的精髓，否则容易造成观者的阅读压力，适得其反。正如我们都希望改变世界，希望给别人带去光明，但更多时候我们只需要播下一颗种子，自然有微风吹拂，雨露滋养。恰如其分地表达观点，往往事半功倍。当您的内容到达这个限度时，或许已经不纯粹作用于演示，极大可能运用于阅读领域；无论是传播观点、知识分享还是汇报工作，内容的详尽固然重要，但请一定注意信息框架的清晰，这样才能使内容层次分明，页面简洁易读。如果您的内容确实非常重要又难以精简，也请使用分段处理，对内容进行简单的梳理和提炼，这样会使逻辑框架相对清晰。
对称性、守恒律和简并性
对拉格朗日函数：
若 ,即广义动量为运动常数.
类似地，若用哈密顿函数 的正则方程来讨论：
经典物理中的对称性
二、量子力学中的对称性
量子力学中的操作如平移、转动等是与一个幺正算符T相联系的，习惯上T常被称作对称算符。
若T作用下系统不变,则称系统具有与T相关的对称性.
对无穷小变化的操作，T可写为，
其中G是对称操作的厄米生成元。
若H在T作用下不变， 则根据海森堡运动方程，有 ，即G是运动常量。
例如动量是平移的生成元，若H在平移操作下不变，则动量是运动常量（即守恒）。类似的，若H在转动下不变，则转动的生成元角动量守恒。
从态矢变化的角度看，若G与H对易，则
保持是G的本征态，且G的本征值不变：
物理规律的平移不变性特征
三、简并 态
若[H,T]=0，T为某对称算符，|n>为本征值为En的能量本征态，则T|n>也是相同能量的能量本征态。如果T|n>与|n>是不同的态，则称它们是能量简并态，体系有简并。有时T由连续参量λ表征T=T(λ),此时所有的T(λ)|n>态都简并（但简并度只是独立的T(λ)|n>态数）。
如对转动， 可构造H,J2,Jz的共同本征态|n;j,m>。由上所知，所有D(R) |n;j,m>态能量简并。
由于 , 改变表征D(R)的连续参量,可得不同|njm>组合,故不同m的|njm>是简并的。因m有2j+1个，简并度为2j+1。
从[H,J±]=0和J±作用于|njm>也可知其有2j+1简并度
作为应用，考虑原子中电子的状态，其所受势为 。由于势V(r)在转动下不变，故原子能级有2j+1重简并。若外加Z方向的电磁场，则电子所受的势不再在转动下不变，简并被消除。
分离对称性，宇称或空间反演
上面讨论的是连续性对称操作，即对称操作可由相继无穷小对称算符所得。量子力学中有用的对称操作并不限于此种形式，可有分立而非连续的对称操作，如宇称，晶格平移和时间反演。
宇称或空间反演操作将r变为-r，右手坐标系变为左手坐标系。量子力学中我们讨论的常是作用于态矢而不是坐标系的变换。
对称操作的两种等价方式：主动与被动
一、宇称算符的基本性质
对|α>,用幺正算符π表示宇称算符，|α> π|α>。
要求位置算符的期待值变号，即
则有
位置本征态|x’>在宇称作用下变为本征值为-x’的态：
故
由于用π作用两次体系必恢复原状，故π2=1
π=π-1=π+，π是厄米的。
对π的本征态|β>,因ππ|β>=β2|β>，知β=±1
二、算符在宇称操作下的变换
由于先平移后反演等同于先反演后在相反方向平移：
有
或{p,π}=0. 该关系与p=dx/dt的预期相同。
对轨道角动量L=xxp，可预期[L,π]=0.
对一般角动量，考虑到R(宇称)=-I,宇称和转动操作对易，故量子力学中的相应幺正算符也对易: πD(R)=D(R)π [π,J]=0.
三、矢量和赝矢量
在转动下x和J以相同方式变换，两者都是矢量，或一阶球张量，但x和p与π反对易，而J与对易。
与宇称反对易的矢量称为极性矢量，而与宇称对易的矢量叫做轴矢量或赝矢量。
类似的有标量算符（与宇称算符对易）和赝标量算符（与宇称算符反对易） 。
L•S、x•p是标量： π+ L•Sπ= L•S
赝标量的例子包括S•x、L•x等：