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高二数学 选修1-1 第三章 导数及其应用
导数的
几何意义1
一、复习
导数的定义
其中：⑴
其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。
其几何意义是？
新授
P
Q
o
x
y
y=f(x)
割线
切线
T
一、曲线上一点的切线的定义
结论:当Q点无限逼近P点时,此时
直线PQ就是P点处的切线PT.
点P处的割线与切线存在什么关系？
曲线在某一点处的切线的定义
x
o
y
y=f(x)
设曲线C是函数y=f(x)的图象，
在曲线C上取一点P(x0,y0)
及邻近一
点Q(x0+△x,y0+△y)
,过P,Q两点作割
线，
当点Q沿着曲线无限接近于点P
点P处的切线。
即△x→0时, 如果割线PQ有一个极
限位置PT, 那么直线PT叫做曲线在
△x
△y
P
Q
T
此处切线定义与以前的定义有何不同？
圆的切线定义并不适用于一般的曲线。
通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。
割线与切线的斜率有何关系呢？
x
o
y
y=f(x)
P(x0,y0)
Q(x1,y1)
M
△x
△y
即：当△x→0时，割线PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率，
x
o
y
y=f(x)
P
Q1
Q2
Q3
Q4
T
继续观察图像的运动过程，还有什么发现？
当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,.
设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
即:
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.
要注意,曲线在某点处的切线:
1)与该点的位置有关;
2),则在此点有切线,且切线是唯一的;
3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.
题型三：导数的几何意义的应用
故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y=
f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 .