常系数非齐次线性微分方程(IV).ppt

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第5章 微分方程
小结 思考题 作业
常系数非齐次线性微分方程
非齐次
非齐次
2
方程
对应齐次方程
通解结构
难点
方法
二阶
常系数
线性
如何求非齐次方程特解?
待定系数法.
特征方程
3
设非齐次方程特解为
求导代入原方程
特征方程
4
综上讨论设非齐次方程特解为
注
上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性
微分方程(k是重根次数).
不是特征方程根
是特征方程的单根
是特征方程的二重根
解
特征根
例
此题
其中
所以
02
(1) 求对应齐次方程的通解
特征方程
(2) 求非齐次方程的特解
对应齐次方程通解
01
对应齐次方程通解
6
代入方程, 得
原方程通解为
所以
二阶常系数非齐次线性微分方程
7
的通解为
练习
考研数学一, 4分
设
对应齐次方程通解
特征方程
特征根
(1) 求对应齐次方程的通解
(2) 求非齐次方程的特解
解
代入方程, 得
原方程通解为
考研数学一, 3分
8
提示
1
可先求方程
2
和
3
特解.
4
的特解,
根椐线性微分方程的性质,
两个解的和就是原方程的特解.
5
考研数学(一, 二, 三) 8分
9
解
对应齐次方程通解
特征方程
特征根
求对应齐次方程的通解
此题
例
二阶常系数线性非齐次方程
的切线重合,求函数y的解析表达式.
(2) 求非齐次方程的特解
解得
所以
(3) 求原方程的特解
即
特征根
原方程通解为
(求函数y的解析表达式)
将点(0,1)的坐标代入通解, 得