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第六节 方向导数与梯度
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？
问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即负梯度方向）爬行．
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二、方向导数的定义
讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题．
（如图）
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当 沿着 趋于 时，
是否存在？
记为
(2)方向导数与偏导数的关系
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证明
由于函数可微，则增量可表示为
两边同除以
得到
定理 如果函数
在点
那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都存在，且有
是可微分的，
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故有方向导数
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例1 已知平面x o y上各点的温度T = x2 + y2，
求在点（1，1）处沿与x轴正向成30o，45o
转角方向的温度变化率。
（1,1）
0
x
y
l1
l2
解
因 T = x2+y2 可微分，所以有
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