方程求根的数值方法.ppt

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有少数方程f(x)=0可以用传统的数学表达式推演而得到准确根，求根很容易，如：方程x2+x-2=0有两个根，是1、-2；方程lnx=0有一个根，是1。但这样的方法只能解极少数简单方程；对于大量的由实际问题而产生的方程，例如下面的方程就求不出准确根（即：一点误差都没有的根），只能用数值解法求近似根.
逐步搜索法、 图形放大法、 数值迭代逼近法
定理：f(x)连续，f(a)与f(b)异号，a<b，则方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个根，称(a,b)是该方程的一个有根区间。
若已知(a,b)内有且仅有一个根，则称(a,b)是一个单根区间。
确定了单根区间(a,b)后，就可用数值求根的方法进行求近似解。常用的方法有
1）逐步搜索法
2）图形放大法
y=f(x)图象与x轴交点（的横坐标）即为f(x)=0根。借助计算机，逐步画图，就可得近似根。
适当取一个小正数h，逐步计算f(a)、f(a+h)、f(a+2h)、f(a+3h)、…… 的值，直到相邻两个值异号，则取这两点的中点为近似根。
3）数值迭代逼近法
区间迭代法（缩小有根区间）
对分法 就是将已知有根区间[a,b]一分为二，比较三个数
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的正负，根据“介值定理”确定哪一半有根；重复多次。
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黄金分割法与对分法本质上一致，只不过每次压缩区间的比例不是一半，（黄金分割比例）
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区间迭代法 1）对分法 2）黄金分割法
点迭代法 1）简单迭代法 2）牛顿切线法
单点割线法 4）两点割线法
添加标题
例1：用对分法求x4+x-3=0在(1,2)内的一个根，。
1
解：设f(x)=x4+x-3。则
2
有根区间是(1,2)
3
有根区间(1,)
4
有根区间(1,)
5
有根区间(,)
6
有根区间(,)
7
（2）点迭代法
若数列{xk} 收敛，则极限值就是准确根。满足x=φ(x)的点称为方程的不动点，此法又称为方程求解的不动点法。
01
注意到迭代函数形式不唯一，其迭代差异可能很大。迭代法需要讨论的基本问题有：迭代法函数构造、迭代序列的收敛性，收敛速度以及误差估计。
02
一般迭代法：将f(x)=0适当变形为x=φ(x),在根的邻近找一个点x0作为初始点，作迭代
03
定理（压缩映像原理）
设迭代函数 x＝φ(x) 在闭区间[a,b]上满足：
对任意x∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b]；
满足Lipschitz条件
则 x＝φ(x) 在闭区间[a,b]上 存在唯一解x*，使得对任意x∈[a,b]，由xk+1= φ(xk) 产生的序列{xk}收敛于x*。
迭代法的几何意义
交点的横坐标即为f(x)=0的根。
y=φ(x)
y=x
简单迭代收敛情况的几何解释
解：由 建立迭代关系：
例2：试用迭代法求方程 f(x)=x3-x-1=0在区间(1，2)内的实根。
k=0,1,2,3…….