2025年普通高中数学矩阵与换.doc

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解答题
1. 在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2＋y2＝1在矩阵A＝对应地变换下得到曲线F，求F地方程．b5E2RGbCAP
解析设P(x，y)是椭圆4x2＋y2＝1上地任意一点，点P(x，y)在矩阵A对应地变换下变为点P′(x′，y′)，则有＝，即p1EanqFDPw

又由于点P(x，y)在椭圆4x2＋y2＝1上，
因此4()2＋y′2＝1，
即x′2＋y′2＝1.
故曲线F地方程为x2＋y2＝1.
【点评】　线性变换是基本变换，解此类问题关键是由＝A得到点P′(x′，y′)与点P(x，y)地坐标关系．RTCrpUDGiT
2．已知在一种二阶矩阵M对应变换地作用下，点A(1,2)变成了点A′(7,10)，点B(2,0)变成了点B′(2,4)，
解析设M＝，则＝，＝，jLBHrnAILg
即解得xHAQX74J0X
因此M＝.
3．求圆C：x2＋y2＝4在矩阵A＝地变换作用下地曲线方程．LDAYtRyKfE
解析　设P′(x′，y′)是圆C：x2＋y2＝4上地任一点，
设P(x，y)是P′(x′，y′)在矩阵A＝对应变换作用下新曲线上地对应点，Zzz6ZB2Ltk
则＝＝，dvzfvkwMI1
即因此rqyn14ZNXI
将代入x2＋y2＝4，得＋y2＝4，EmxvxOtOco
故方程为＋＝1.
4．在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＋y＋2＝0在矩阵M＝对应地变换作用下得到直线m：x－y－4＝0，求实数a，b地值．SixE2yXPq5
解析　在直线l：x＋y＋2＝0上取两点A(－2,0)，B(0，－2)．
A、B在矩阵M对应地变换作用下分别对应于点A′、B′.
由于＝，因此点A′地坐标为(－2，－2b)；6ewMyirQFL
＝，因此点B′地坐标为(－2a，－8)．kavU42VRUs
由题意，点A′、B′在直线m：x－y－4＝0上，
因此y6v3ALoS89
解得a＝2，b＝3.
5．求曲线C：xy＝1在矩阵M＝对应地变换作用下得到地曲线C1地方程．M2ub6vSTnP
解析　设P(x0，y0)为曲线C：xy＝1上地任意一点，
它在矩阵M＝对应地变换作用下得到点Q(x，y)0YujCfmUCw
由＝，得eUts8ZQVRd
解得sQsAEJkW5T
由于P(x0，y0)在曲线C：xy＝1上，因此x0y0＝1.
因此×＝1，即x2－y2＝4.
因此所求曲线C1地方程为x2－y2＝4.
6. 已知矩阵，若矩阵属于特征值6地一种特征向量为，属
于特征值1地一种特征向量为．求矩阵地逆矩阵．
解析 由矩阵属于特征值6地一种特征向量为，可得＝6，
即；
由矩阵属于特征值1地一种特征向量为可得，＝，
即，
解得即＝，逆矩阵是.
7．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(－2，0)，C(－2,1)，设k为非零实数，M＝，N＝，点A、B、C在矩阵MN对应地变换下得到地点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1地面积是△ABC面积地2倍，求k地值．GMsIasNXkA
解析　由题设得MN＝＝.TIrRGchYzg
由＝，＝，7EqZcWLZNX
，可知A1(0,0)，B1(0，－2)，C1(k，－2)．lzq7IGf02E
计算得△ABC地面积是1，△A1B1C1地面积是|k|，则由题设知|k|＝2×1＝2.
因此k地值为－2或2.
8．已知矩阵M＝，N＝.在平面直角坐标系中，设直线2x－y＋1＝0在矩阵MN对应地变换作用下得到地曲线F，求曲线F地方程．zvpgeqJ1hk
解析　由题设得MN＝＝，NrpoJac3v1
设(x，y)是直线2x－y＋1＝0上任意一点，
点(x，y)在矩阵MN对应地变换作用下变为(x′，y′)，
则有＝，1nowfTG4KI
即＝，fjnFLDa5Zo
因此由于点(x，y)在直线2x－y＋1＝0上，tfnNhnE6e5
从而2x′－(－y′)＋1＝0，即2x′＋y′＋1＝0，
因此曲线F地方程为2x＋y＋1＝0.
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