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第二节 根轨迹绘制的基本准则
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2、根轨迹的对称性：
一般物理系统特征方程的系数是实数，其根必为实根或共轭复根。即位于复平面的实轴上或对称于实轴。
用解析法或试探法绘制根轨迹很烦琐。下面讨论的内容通过研究根轨迹和开环零极点的关系，根轨迹的特殊点，渐近线和其他性质将有助于减少绘图工作量，能够较迅速地画出根轨迹的大致形状和变化趋势。以下的讨论是针对参数 的180度根轨迹的性质。
根轨迹的连续性和对称性
1、根轨迹的连续性：
闭环系统特征方程的某些系数是增益 的函数。当 从0到无穷变化时，这些系数是连续变化的。故特征方程的根是连续变化的，即根轨迹曲线是连续曲线。
根轨迹的支数和起始点
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4、根轨迹的起点和终点：
根轨迹方程为：
时为起点， 时为终点。
3、根轨迹的支数： n阶特征方程有n个根。当 从0到无穷大变化时，n个根在复平面内连续变化组成n支根轨迹。即根轨迹的支数等于系统阶数。
当 时，只有 时，上式才能成立。而 是开环传递函数的极点，所以根轨迹起始于开环极点。n阶系统有n个开环极点，分别是n支根轨迹的起点。
根轨迹的起点和终点
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我们称系统有n-m个无限远零点。有限值零点加无穷远零点的个数等于极点数。
那么，n-m支根轨迹是如何趋于无限远呢？
当 时，① ，上式成立。 是开环传递函数有限值的零点，有m个。故n阶系统有m支根轨迹的终点在m个有限零点处。②若n>m，那么剩余的n-m个终点在哪里呢？在无穷远处。 由根轨迹方程知：当 时
根轨迹的渐近线
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：
若开环零点数m小于开环极点数n，则当系统的开环增益Kg→∞时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条。这n-m条根轨迹趋向无穷远的方位可由渐近线决定。
由根轨迹方程可得：
式中 ，
根轨迹的渐近线
当Kg→∞，由于m<n，故s→∞满足根轨迹方程，上式近似为
两边开n-m次方
利用二项式定理
当 时， ，令 ，
根轨迹的渐近线
设s=x+jy, 利用－1=cos(2k+1)π+j sin(2k+1)π，并根据德莫弗(De Moive)代数定理(cosq +j sinq )n= cos(nq )+j sin(nq )，上式可写为
根轨迹的渐近线
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这是与实轴交点为－s，斜率为 的直线方程。也就是渐近线方程。渐近线与实轴的夹角(称为渐近线的倾斜角)为
[解]：根轨迹有3支。起点为开环极点
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[例4-2]系统开环传递函数为： ，试确定根轨迹支数，起点和终点。若终点在无穷远处，求渐近线与实轴的交点和倾角。
无有限值零点，所以三支根轨迹都趋向无穷远。
渐近线与实轴的交点：
渐近线与实轴的倾角：
零极点分布和渐近线（红线）如图所示。
6、实轴上的根轨迹：
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实轴上具有根轨迹的区间是：其右方开环系统的零点数和极点数的总和为奇数。
[证明]：例如在实轴上有两个开环极点p1、p2，复平面上有一对共轭极点p3、 p4和一对共轭零点z1、 z2 。
先看试验点s1点：
所以s1点满足根轨迹相角条件，于是[－p2 ,－p1]为实轴上的根轨迹。
实轴上的根轨迹
②成对出现的共轭零点z1、 z2对实轴上任意试探点构成的两个向量的相角之和为0°；
③试探点左边的极点p2对试探点构成的向量的相角为0°；
④试探点右边的极点p1对试探点构成的向量的相角为180°；
再看s2点：不满足根轨迹相角条件，所以不是根轨迹上的点。
①成对出现的共轭极点p3、 p4对实轴上任意试探点构成的两个向量的相角之和为0°；
同样s3点也不是根轨迹上的点。