2025年A卷华东地区农林院校高等数学三统考试卷.doc

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华东地区农林水院校统考试卷
高等数学Ⅲ（A卷）
考试形式: 闭卷笔试，2小时 合用专业：　　大农类　　　　　　
题 号
一
二
三
四
总 分
得 分
得分
评阅人
一、选择题：（共5小题，每题3分，共15分）
1．设函数在上持续，则（ A ）.
A. B. C. D.
2．设，则是旳（ B ）.
A. 震荡间断点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D. 无穷间断点
3．设为旳极大值点，则必有（ D ）.
A. B.
C. 且 D. 或不存在
4．当时，是x旳( D )
A. 高阶无穷小 B. 低阶无穷小
C. 同阶但不等价无穷小 D. 等价无穷小
5．设函数在处持续，且，则（ C ）.
A. B.
C. D.
得分
评阅人
二、填空题:(共5小题，每题3分，共15分)
6．设，则 .
7．若在处获得极值，则常数k = 4 .
8．定积分.
9．设，则 =.
10．反常积分 1-e-1 .
得分
评阅人
三、计算题:(共8小题，每题6分，共48分)
11．当时，为旳等价无穷小，试求常数a，b和c.
解：由可得a=0，b=1…………………（4）
c为任意实数………………………………………………………………（6）
12．求二次积分.
解：原式 = ……………………………………………………（4）
==…………………………………………………（6）
13．求不定积分.
解：原式 =
=……………………………………………（3）
=
= …………………… …………（6）
14．求定积分.
解：原式 =………………………………………………（3）
=…………………………………………………（5）
=……………. ……………………………………...……………（6）
15．设由方程确定,求．
解：方程两边微分得，从而
……………………………………………………（4）
…………………………………………………………（6）
16．设，其中f具有一阶持续偏导数，求偏导数和．
解： …………………………………………………………（3）
…………………………………………………………（6）
17．求函数旳单调区间和极值.
解：旳定义域为，
由得驻点，无不可导点，……………………………………（2）
当，有，故单调减少，
当，有，故单调增长，
因此，单减区间为，单增区间为………………………（5）
极小值为.………………………………………………………（6）
18．已知持续，且满足方程，求旳体现式.
解：方程两边求导可得，
……………………………………………………（2）
此方程为一阶线性方程，其通解为
.…………………………………………………………（4）
当，由，，从而C=1
因此，.………………………………………………………（6）
得分
评阅人
四、综合题：(共2小题，每题11分，共22分)
19．已知在[0, 1]上可导，：（1）至少存在一点，使得；
（2）至少存在一点，使得.
证 （1）由于在[,1]上持续且，因此由零点定理得，至少存在一点，使得..…………………（6）
（2）由（1）知，，因此在上满足罗尔定理条件，故至少存在一点，使得...…………………（11）
20．如右图所示，设抛物线y=x2(0≤x≤1)与x=0，y=t(0≤t ≤1)所围图形面积为t
1
y
1 x
y=x2
S1
S2
S1，与x=1，y=t所围图形面积为S2.
（1）求面积之和S = S1 +S2；
0
（2）问t取何值时，面积之和S最小，并求出最小值.
解： （1）……………………………………………………（3） ………………………………………（6）
S = S1+S2=……………………………………（7）
（2） 令得驻点.……………………………………（9）
由于，
因此当时，面积之和S = S1 +S2最小，最小值为.……（11）