正交多项式和最佳平方逼近.ppt

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BUSINESS PLAN
1 连续区间上正交多项式
2 连续函数的最佳平方逼近
总结
正交多项式和最佳平方逼近
正交多项式是数值计算中的重要工具，这里只介绍正交多项式的基本概念、某些性质和构造方法。离散情形的正交多项式用于下节的数据拟合，连续情形的正交多项式用于生成最佳平方逼近多项式和下章的高斯型求积公式的构造。它们在数值分析的其他领域中也有不少应用。
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其中的 (x)0为给定的权函数。
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函数f (x)和 g (x)在连续意义下的内积定义为
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连续区间上的正交多项式的概念与离散点集上的正交多项式概念相似，只要将内积的定义作相应的改变 。
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连续区间上正交多项式
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按连续意义下的内积，若多项式组{k(x)}k=0,…n 满足条件(1),则称它为在区间[a,b] 上的带权 (x)的正交多项式序列。
上关于
事实上，
权函数1的正交组。
三角函数组
是首项系数为1的i次多项式，则 满足递推公式:
正交多项式的三项递推公式:
01
下面给出几种常用的正交多项式.
勒让德（Legendre）多项式.
正交多项式记为 ，由三项递推公式得
02
()
03
04
它们是在区间 [-1,1]上的带权 (x)=1的正交多项式.
它们的根都是在开区间 (-1,1)上的单根,并且与原点对称.
05
()
[-1,1]上的带权 　的正交多项式.
第一类Chebyshev多项式.
第一类Chebyshev多项式可由三项递推公式
前几个第一类Chebyshev多项式如下:
02
它们的根都在开区间（-1，1）上的单根，并且与原点对称。
01
拉盖尔(Laguerre)多项式。
Laguerre多项式可由三项递推公式
给出。它们是在区间[0,+∞)上带权 的正交多项式。前几个Laguerre多项式如下:
它们的根都是在区间（0，+∞）上的单根。