正交小波基与多分辨分析.ppt

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信号空间L2(R)的分解
双尺度方程
标准正交小波基的构造
滤波器系数h(k)和g(k)的性质
Mallat快速算法
紧支集正交小波的性质
§4 正交小波基与多分辨分析
多分辨分析
正交小波
正交小波
定义：
设有允许小波
，记
，其中
为任意的整数。如果函数族
构成空间
的标准正交基, 则称
是正交小波
母函数或简称正交小波
称为正交小波基。
函数族
正交小波
对任意
，存在唯一的展式：
其中
称为
的小波系数
正交小波级数分解
小波系数实质上是离散小波变换，前面所得的二进离
散小波与连续小波虽不会损失信息，但会产生冗余，而正
交小波则可以使变换后所产生的冗余消失。
正交小波
两个正交小波的例：

经过二进伸缩与平移可得到
是
的一个标准正交基，但此小波基是一族阶梯
函数，连续性较差，不适合分析光滑性较好的信号。它的时间局部性非常好，但频域局部性不好
Haar小波
正交小波
Shannon小波
的一切平移所生成的函数系
构成了子空间
的一个标准正交基
尺度函数
令
，则
具有标准正交基

正交小波
且对任意
有
于是
正交小波
令
在时域，Shannon小波是无限次可微的，具有无穷阶消失矩，不是紧支的，具有渐近衰减性但较缓慢；在频域，是频率带限函数，具有好的局部化特性。
它的整的平移族
的标准正交基
的标准正交基
对任意
Shannon小波基
多分辨分析
多分辨率分析是指满足下列性质的一系列子空间
1. 单调性：
2. 逼近性：
3. 伸缩性：
4. 平移不变性：
5. Riesz基存在性：
参考子空间
V2
V1
V0
多分辨分析
由条件(5)可证明如下定理
从而可构造正交尺度函数
的标准正交基．
注：
定理 ：
正交基，事实上可取下式定义的函数 ：
存在函数
，使得
构成
的标准
的一个标准正交基
由此说明可由
的闭子空间
的Riesz基
小波函数和小波空间
设
是正交多分辨分析，将
中的正交补子空间记作
，则
从而得到
的一系列闭子空间
满足：
V2
V1
V0
W2
W1
称为小波函数，
称为尺度为j的小波空间(细节空间)