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ÐDEB = ÐABC ． 求证：（1） DB2 = DE × DA ； （2）ÐDCE = ÐDAC ． B D E A C 例 3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于 D，CG∥AB，BG 分别交 AD、AC 于 E、F． 求证： BE 2 = EF ×EG ． 相关练习： 1、如图，已知 AD 为△ABC 的角平分线，EF 为 AD 的垂直平分线．求证： FD2 = FB ×FC ． 2、已知：AD 是 Rt△ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是 AD 的垂直平分线交 AD 于 M，EF、BC 的延长线交于一点 N。 求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND 2 =NC·NB 3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于 D，E 是 AC 上一点，CF⊥BE 于 F。求证：EB·DF=AE·DB DABC 中，AB=AC，高AD与BE交于H， EF^BC ，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。求证： ÐGBM = 90° A M E H B D F C G 5．（本题满分 14 分，第（1）小题满分 4 分，第（2）、（3）小题满分各 5 分） 已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P 是斜边 AB 上的一个动点，PD⊥AB，交边 AC 于点 D（点 D 与点 A、C 都不重合），E 是射线 DC 上一点，且∠EPD=∠A．设 A、 B P 两点的距离为 x，△BEP 的面积为 y． （1）求证：AE=2PE； （2）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积．
P A D E C （第 25 题图） 双垂型 1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD、CE 分别是 AC、AB 上的高 A 求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；(3)BC=2ED E D B C 2、如图，已知锐角△ABC，AD、CE 分别是 BC、AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别是 27 和 3， DE=6 2 ，求：点 B 到直线 AC 的距离。 A E B D C 共享型相似三角形 1、△ABC 是等边三角形,D、B、C、E 在一条直线上,∠DAE=120° ，已知 BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长. A D B C E 2、已知：如图，在 Rt△ ABC 中，AB=AC，∠DAE=45°． 求证：（1）△ ABE∽△ ACD； （2） BC2 = 2BE × CD ． A B D E C 一线三等角型相似三角形 A 例 1：如图，等边△ABC 中，边长为 6，D 是 BC 上动点，∠EDF=60° （1）求证：△BDE∽△CFD （2）当 BD=1，FC=3 时，求 BE E F B D C 例 2：（1）在DABC 中， AB = AC = 5 ， BC = 8 ，点 P 、Q 分别在射线CB 、 AC 上（点 P 不与点C 、点 B 重合），且保持ÐAPQ = ÐABC . ①若点 P 在线段CB 上（如图），且 BP = 6 ，求线段CQ 的长； ②若 BP = x ， CQ = y ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域； A Q B P C
A B C 备用图
A B C 备用图 （2）正方形 ABCD 的边长为5 （如下图），点 P 、Q 分别在直．线．CB 、 DC 上（点 P 不与点C 、点 B 重 合），且保持ÐAPQ = 90° .当CQ = 1 时，求出线段 BP 的长. D 10 C D A D C B C 例 3：已知在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD＜BC，且 AD＝5，AB＝DC＝2． （1）如图 8，P 为 AD 上的一点，满足∠BPC＝∠A． ①求证；△ABP∽△DPC ②求 AP 的长． A P D B C （2）如果点 P 在 AD 边上移动（点 P 与点 A、D 不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE 交直线 BC 于点 E，同时交直线 DC 于点 Q，那么 ①当点 Q 在线段 DC 的延长线上时，设 AP＝x，CQ＝y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域； ②当 CE＝1 时，写出 AP 的长． A D B C A D B C 例 4：如图，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， AB = CD = BC = 6 ， AD = 3 ．点M 为边 BC 的中点，以 M 为顶点作ÐEMF = ÐB ，射线 ME 交腰 AB 于点 E ，射线 MF 交腰CD 于点 F ，联结 EF ． （1）求证：△ MEF ∽△ BEM ； （2）若△ BEM 是以 BM 为腰的等腰三角形，求 EF 的长； （3）若 EF ^ CD ，求 BE 的长． 相关练习： 1、如图，在△ABC 中， AB = AC = 8 ， BC = 10 ， D 是 BC 边上的一个动点，点 E 在 AC 边上，且 ÐADE = ÐC ． 求证：△ABD∽△DCE； A 如果BD = x ， AE = y ，求 y 与 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的定义域； 当点D 是 BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由． E B D C 2、如图，已知在△ABC 中， AB=AC=6，BC=5，D 是 AB 上一点，BD=2，E 是 BC 上一动点，联结 DE， 并作 ÐDEF = ÐB ，射线 EF 交线段 AC 于 F． （1）求证：△DBE∽△ECF； （2）当 F 是线段 AC 中点时，求线段 BE 的长； （3）联结 DF，如果△DEF 与△DBE 相似，求 FC 的长． D F A 13 B E C 3、已知在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD＜BC，且 BC =6，AB=DC=4，点 E 是 AB 的中点． （1）如图，P 为 BC 上的一点，且 BP=2．求证：△BEP∽△CPD； （2）如果点 P 在 BC 边上移动（点 P 与点 B、C 不重合），且满足∠EPF=∠C，PF 交直线 CD 于点 F，同时交直线 AD 于点 M，那么 ①当点 F 在线段 CD 的延长线上时，设 BP= x ，DF= y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的 定义域； ②当S DDMF
= 9 S 4 DBEP
时，求 BP 的长． A D A D E E B P C （第 25 题图） B C （备用图） 4、如图，已知边长为 3 的等边 DABC ，点 F 在边 BC 上，CF = 1 ，点 E 是射线 BA 上一动点，以线段 EF 为边向右侧作等边 DEFG ，直线 EG, FG 交直线 AC 于点 M , N ， （1）写出图中与 DBEF 相似的三角形； （2）证明其中一对三角形相似； （3）设 BE = x, MN = y ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （4）若 AE = 1，试求 DGMN 的面积． 一线三直角型相似三角形 备用图 例 1、已知矩形 ABCD 中，CD=2，AD=3，点 P 是 AD 上的一个动点，且和点 A,D 不重合，过点 P 作 PE ^ CP ，交边 AB 于点 E,设 PD = x, AE = y ，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围。 P D E C 例 2、在DABC 中， ÐC = 90o , AC = 4, BC = 3,O 是 AB 上的一点，且 AO = 2 ，点 P 是 AC 上的一个 AB 5 动点，PQ ^ OP交线段 BC 于点 Q，（不与点 B,C 重合），设 AP = x,CQ = y ，试求 y 关于 x 的函数关系， 并写出定义域。 C Q P B O A 【练习 1】 在直角 DABC 中，ÐC = 90o , AB = 5, tan B = 3 ，点 D 是 BC 的中点，点 E 是 AB 边上的动点，DF ^ DE 4 交射线 AC 于点 F （1）、求 AC 和 BC 的长 A
