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【要点归纳】
一、弹簧振子
.平衡位置：振子原来静止时的位置.
.机械振动：振子在平衡位置附近的往复运动，简称振动.
.弹簧振子：由小球和弹簧组成的系统，，如果球与杆之 间的摩擦可以忽略，且弹簧的质量与小球的质量相比也可以忽略，则该系统为弹簧振子.
二、弹簧振子的位移一时间图象
：以小球的平衡位置为坐标原点， 衡位置右边时它对平衡位置的位移为正，在左边时为负.
2•位移一时间图象：横坐标表示振子振动的时间，纵坐标表示振子相对平衡位置的位 移，.
三、简谐振动
.定义：如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象（X—，图 象）是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动.
.特点：简谐运动是最简单、.
.图象的应用：医院里的心电图、地震仪中绘制地震曲线的装置.
.简谐运动的位移
位移的表示方法：以平衡位置为坐标原点，以振动所在的直线为坐标轴，规定正方向, 则某时刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻振子所在位置的坐标来表示.
.简谐运动的速度
（1）物理含义:（也
称，，一维坐标系，，）上，速度的正负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反.
（2）特点：如图所示为一简谐运动的模型，振子在0点速度最大，在A、3两点速度为 零.
I 1 1 -
BOA x
.简谐运动的加速度
⑴计算方法：式中加表示振子的质量，攵表示比例系数，x表示振子距平衡位置的位移， “一”表示加速度的方向与位移的方向相反.
2）特点：加速度大小呈线性变化，方向只在平衡位置发生改变.
四、简谐运动的物理量
.振幅是指振动物体离开平衡位置的最大距离，通常用字母A表示，是标量.
.振子完成一次完整的振动过程称为一次全振动，不论从哪一位置开始计时，弹簧振 子完成一次全振动所用的时间总是相同的.
,做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫做振动的周期, 物理意义是表示物体振动的快慢.
.单位时间内完成全振动的次数，叫做振动的频率，用字母/表示；其单位是赫兹， 符号是Hz.
.周期与频率的关系是7=17频率的大小表示振动的快慢.
.用来描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态的物理量叫相位，当，=0时的相位 称做初相位，用字母（P表示.
五、简谐运动的表达式
简谐运动的一般表达式为尸Asin（在+e）.
. x表示离开平衡位置的位移，A表示简谐运动的振幅，表示振动的强弱.
.式中。叫做“圆频率。它与周期频率的关系为60=爷=2忒可见co、T、/相当于一 个量，：x=Asin借叶夕）或x=Asin（2碇 +。）.
.式中（ge+夕）表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态， ，相当于一个角度，单位为 弧度，相位每增加2兀，意味着物体完成了一次全振动.
.式中夕表示，=0时简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相.
.相位差：即某一时刻的相位之差两个具有相同①.的简谐运动，设其初相分别为仍
和 92，其相位差 A(p = {a}t-\-(pi) — {(Dt-\-(p\) = (p2 — (p\.
六、简谐运动的规律
受力特
征
回复力尸=一乙，尸(或。)的大小与X的大小成正比，方向相反
运动特 征
靠近平衡位置时，。、F、x都减小，u增大；远离平衡位置时，。、F、x都增大，u 减小
能量特 征
振幅越大，，系统的动能和势能相互转化，机械能守恒
周期性 特征
质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运 动的周期7;动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为白
对称性 特征
关于平衡位置0对称的两点，速度的大小、动能、势能相等，相对平衡位置的位 移大小相等
七、单摆及单摆的回复力
.单摆
(1)如果细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样 的装置就叫做单摆。单摆是实际摆的理想化模型。
(2)单摆的平衡位置：摆球静止时所在的位置。
.单摆的回复力
(1)回复力的来源：如图所示，摆球的重力沿圆弧切向的分力提供回复力。
(2)回复力的特点：在偏角很小时，sin片，所以单摆的回复力为尸=一竿右即小球所 I I
受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，单摆的运动可看成是 简谐运动。
.单摆的运动特点
(1)摆线以悬点为圆心做变速圆周运动，因此在运动过程中只要速度以0,半径方向都受 向心力.
(2)摆线同时以平衡位置为中心做往复运动，因此在运动过程中只要不在平衡位置，轨 迹的切线方向都受回复力.
八、单摆的周期
.伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟。
.单摆的周期
1)单摆的周期只与摆长/及单摆所在处的重力加速度有关，与振幅及摆球 的质量无关。单摆的周期叫固有周期。
2)单摆的周期公式在单摆偏角很小
时成立(偏角为5。时，%)o
3)单摆周期公式中的g应为单摆所在处的重力加速度，/应为单摆的摆长。摆长是指从 悬点到摆球重心的长度，/=「+* r为摆线长，d为摆球直径。
才0
/ / 1
/ 1
1等效=R
当半径R远大于小球位移入时，小球做单摆运
动
十、固有振动
.固有振动：：弹簧振子和单摆.
.固有频率：.
十一、阻尼振动
.阻尼振动：振动系统受到阻力的作用，振幅逐渐减小的振动.
.阻尼振动特点：振幅减小，频率不变（如图）.
.理想化处理：当阻尼很小时，在短时间内看不出振幅明显减小，可以把它当作简谐 运动来处理.
十二、受迫振动
.驱动力：如果存在阻尼作用，, 对振动系统施加的周期性的外力，外力对系统做功，补偿系统的能量损耗，这种周期性的外 力叫做驱动力.
.受迫振动：在周期性驱动力作用下的振动.
.受迫振动频率：受迫振动的频率等于驱动力的频率，与系统的固有频率无关.
十三、共振
.定义：驱动力的频率/等于系统的固有频率力时，受迫振动的振幅最大，这种现象 叫做共振。
.共振曲线（如图所示）
4位迫振动的振幅
驱动力的频率
6""为（固’有频率）呼

(1)驱动力的频率等于振动系统的固有频率。
(2)对共振条件的理解：
①从受力角度看：当振动物体所受驱动力的方向跟它的运动方向相同时，驱动力对它起 加速作用，使它的振幅增大，当驱动力的频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使 物体的振幅增加，从而振幅达到最大。
②从功能关系看：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，驱动力始终对物体做正功, 使振动能量不断增加，振幅不断增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量，振幅 才不再增加。

(1)如图所示，当驱动力的频率与物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大。
受迫振动的振幅
(2)对共振曲线的理解
共振曲线直观地反映了物体做受迫振动的振幅与驱动力频率的关系。当驱动力的频率/ 偏离固有频率为较大时，受迫振动的振幅较小；当驱动力的频率，等于固有频率为时，受 迫振动的振幅最大。
【夯实基础练】
1. (2022•高考浙江卷)如图所示，一根固定在墙上的水平光滑杆，两端分别固定着相同 的轻弹簧，两弹簧自由端相距龙。套在杆上的小球从中点以初速度以向右运动，小球将做周 期为7的往复运动，则()
彳 UUUUUUUUUUU'

T

2

，其运动周期为27 2
【解析】，且方向 总是指向平衡位置，可知小球在杆中点到接触弹簧过程，所受合力为零，此过程做匀速直线 运动，故小球不是做简谐运动，A错误；
。，小球向右压缩弹簧至最大压缩量时的位置为A,小球向左压缩 弹簧至最大压缩量时的位置为B ,可知小球做周期为T的往复运动过程为 O fA fO —3 -O,根据对称性可知小球从O fA fO与0 ― 3 fO,这两个过 程的动能变化完全一致，两根弹簧的总弹性势能的变化完全一致，故小球动能的变化周期为 T T
—,两根弹簧的总弹性势能的变化周期为一，B正确，C错误； 2 2
V
，可知小球在匀速阶段的时间变为原来的2倍，接触弹簧过程, 2
根据弹簧振子周期公式4=2万件，可知接触弹簧过程所用时间与速度无关，即接触弹簧
V 过程时间保持不变，故小球的初速度为一时，其运动周期应小于2T, D错误；故选B。
2
【答案】B
2.(多选X2022•湖南省长沙市第一中学高三第六次月考)如图，把一个有小孔的小球连 接在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球套在光滑的杆上，能够自由滑动。弹簧的质量与 小球相比可以忽略。小球运动时空气阻力很小，也可以忽略。系统静止时小球位于。点。 现将小球向右移动距离A后由静止释放，小球做周期为T的简谐运动。下列说法正确的是 ()
d O P
T

2

4
,则该过程经历的时间一定为工
4
T
,则该过程经历的时间至少为一
2
，则该过程中弹簧弹力做的功一定为零 2
【解析】，不论小球从何位置开始运动，只要经过工， 2
小球运动的路程一定为2A,故A正确；
，若某过程中小球的路程为4则
该过程经历的时间才一定为二，否则该过程经历的时间都不等于二，故B错误； 4 4
，某过程中小球的位移大小为4则该
T
过程所经历的时间为一的奇数倍；若小球的起始位置不在最大位移处或平衡位置，某过程 4
中小球的位移大小为A,则该过程所经历的时间一定大于二，故C错误；
4
,则小球的起始位置一定在最大位移处，该过程所
经历的时间为二的奇数倍，即至少为工，故D正确；
2 2
，若某过程经历的时间为二，则小球初、末速度大小相 2
等，根据动能定理可知该过程中弹簧弹力做的功一定为零，故E正确。故选ADE。
【答案】ADE
.（2022•上海市杨浦区一模）描述振动强弱的物理量是（）

【解析】，AB错误；
，是表示振动强弱的物理量，C正确；
，D错误。故选C。
【答案】C
.（2022•上海市杨浦区一模）单摆在振动过程中，对摆球的分析正确的是（）


【解析】，有向心加速度，即加速度不为零，选项A错 误；
，则合外力方向不是始终与速度方向垂直，选项B 错误；
，回复力最大，此时合外力不为零，选项c错误；
，即加速度都不等于零，选项D正确。故选D。
【答案】D
. （2022•华南师范大学附中、广东实验中学等四校联考）如图甲所示，弹簧振子以。点 为平衡位置，在M、N两点之间做简谐运动。振子的位移x随时间t的变化图像如图乙所示。
，振子的速度沿 方向（填“+产或“t”），振子做简谐运动的位移的表达式
图甲 图乙
【解析】［1］由图乙可知，，速度最大，下一个时刻位移为
负，则速度方向为负方向，即振子的速度沿-X方向；
［2］,振幅为12cm,则振子做简谐运动的表达式为 2〃
x= A sin（—・ E） = 12 sin 1 .25R（cm）
【答案】 ①一x ②x = 12 sin （cm）