2021高考押题之函数与导数小题.docx

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（一）命题特点和预测：分析近 9 年的高考题发现 9 年 10 考，每年至少 1 题，主要考查函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性、函数图象及应用这些性质比较大小、解函数不等式、识别函数图象、研究函数零点或方程的解，考查分段函数求值等，函数单调性与奇偶性及其应用、分段函数问题的考查为基础题，图象、 年仍将至少 1 个函数小题，主要考查函数的图象性质、分段函数或函数的综合应用，难度可能为基础题或中档题或压轴小题．
（二）历年试题比较：
年份
题目
答案
2018 年
（9）已知函数 ．若 g（x）存在 2 个零点，则 a
的取值范围是
A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞）
C
2017 年
(5) 函 数 f (x) 在 (-¥, +¥) 单 调 递 减 ， 且 为 奇 函 数 ． 若 f (1) = -1 ， 则 满 足
的 x 的取值范围是
A．[-2, 2] B．[-1,1] C．[0, 4] D． [1, 3]
D
(11)设 x、y、z 为正数，且2x = 3y = 5z ，则
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z <2x D．3y<2x<5z
D
2016 年
（8）若 ，则
（A） ac < bc （B） abc < bac （D）
C
2015 年
（13）若函数 f(x)=xln（x+ a + x2 ）为偶函数，则 a=
1
2014 年
(3)设函数 f (x) ， g (x) 的定义域都为 R，且 f (x) 时奇函数， g (x) 是偶函数，则下列
结论正确的是
A . f (x) g (x) 是偶函数 B .| f (x) | g (x) 是奇函数
C . f (x) | g (x) |是奇函数 D .| f (x) g (x) |是奇函数
C
2013 年
(11)已知函数 f (x) ，若| f (x) |≥ ax ，则 a 的取值范围是
A . (-¥, 0] B . (-¥,1] C .[-2,1] D .[-2,0]
D
2012 年
1
(10)已知函数 f (x) = ，则 y = f (x) 的图像大致为
ln( x +1) - x
B
2011 年
（2）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是
（A） y = x3 (B ) y =| x | +1 (C) y = -x2 + 1 (D) y = 2-|x|
B
1
(12)函数 y = 的图像与函数 y = 2 sinpx （－2≤ x ≤4）的图像所有交点的横坐标
1- x
之和等于
（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8
D
【解析与点睛】
（2018 年）（9）【解析】画出函数的图像，在 y 轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下 移动，可以发现当直线过点 A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方 有两个解，也就是函 有两个零点，此时满 ，即，故选 C.
（ 2017 年 ） (5) 【 解 析 】 因 为
f (1) = -1 ，
f (x) 为 奇 函 数 ， 所 以 , 所 以
1 £ x £ 3 ，故选 D.
， 因为函数
f (x) 在 (-¥, +¥) 单调递减， 所， 解得
=
ln 3
(11)【解析】取对数： ，所以 ，所以 ＞1，∴ 2x > 3y ，则
ln 2
x = ln 5 ，∴ ,∴ 2x < 5z ，∴ 3y < 2x < 5z ，故选 D.
ln 2
（2016 年）【解析】因，由幂函数性质知 ac > bc > 0 ，故 A 错，由不等式性质知
aac > bbc ，故 B 错，由对数函数的图像知，故 D 错，故选 C.
对 C： 要比较 a log
c 和b log c ，只需比较 a ln c 和 b ln c ，只需比较 ln c

和 ln c
，只需b ln b 和 a ln a
b a ln b
ln a

b ln b

a ln a
构 造 函 数 ， 则 ，
f (x)
在 (1, +¥)
上 单 调 递 增 ， 因 此
又由0 < c < 1得ln c < 0 ，∴ ，C 正确
对 D： 要比较log
c 和log c ，只需比较 ln c 和 ln c

a b ln a
ln b
而函数 y = ln x 在(1, +¥)上单调递增，故
又由0 < c < 1得ln c < 0 ，∴ ，D 错误故选 C．
（ 2015 年 ） 【 解 析 】 由 题 知 是 奇 函 数 ， 所 以
=，解得a =1.
（2014 年）(3）【解析】∵函数 f (x) , g (x) 的定义域为 R ，且 f (x) 是奇函数， g (x) 是偶函数，∴
=- f (x)g(x) 是奇函数，故 A 错 == | f (x) | g(x) 是偶函数， 故 B 错 =是奇函数，故选 C
（2013 年）【解析】∵| f (x) ，∴由| f (x) |≥ ax 得且，
由可得 a ³ x - 2 ，则 a ≥-2，排除Ａ，Ｂ，当a =1 时，易证ln( x +1) < x 对 x > 0 恒成立， 故a =1 不适合，排除 C，故选 D.
（2012 年）(10)【解析】定义域为（－1,0）∪(0,+∞)， f
∴ f (x) 在(－1,0)是减函数，在（0，+∞）是增函数，结合选项，只有 B 符合，故选 B.
【解析 2】
得： x > 0 或 -1 < x < 0 均有 f (x) < 0
排除 A, C, D
（2011 年）（2）【解析】先考查奇偶性，显然 y = x3 是奇函数，排除 A，
∵ y =| x | ，显然在（0，+∞）是单调增函数，故选 B.
1
(12) 【解析】作出 y =


1- x
与 y = 2 sinpx （－2≤ x ≤4），由图像知这两个函数都关于（1,0）对称，故其
8 个交点关于（1,0）对称，∴所有交点的横坐标之和等于 2+2+2+2=8，故选 D.
（三）命题专家押题
题号
试 题
1.
下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是 ( )
A． B． D．
2.
设
A．1
， ，则实数 是（
B．-1 D．0
）
3
已知函数
A．
是定义 上的奇函数，对任意 都有
， （ ）
B． C．
D．
，当
时，
4
函数
A．
的大致图像是（ ）
B．
C． D．
5
已 是定义在 R 上的偶函数，且上是增函数，
则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6
已 是定义 上的奇函数，且满 ， 时， ，则
上 的解集是（）
A． B． C． D．
7
在区 中任取一个实 ，使函数 ， 上是增函数的概率 为（ ）
A． B C． D．
8
若函 的值域为 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9
已知函数 且函 在内有且仅有
两个不同的零点，则实 的取值范围是 .
10
已知函数 ，若存在实 ，满 ，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详细解析】
1.【答案】B
【解析】对于 A 选项， B 选项，
，函数为奇函数， 时 为递增函数，根据奇函数图像关于 原点对称可知函数 时也是增函数， ，故函数 上为递增函数，符合题意，B C 选项，函数的定义域，函数在这个区间上没有单调性，C D 选项，由于函数定义域 ， ，所以函数为偶函数，，
故选 B.
2.【答案】B
【解析 解得 a=-1,故选 B
3.【答案】A
【解析】根据题意，函数 满足任意的 都 ，则 ，则函数 是周
期 的周期函数 ，，又由函 是定义 上的奇函数，则 ，当 时， ，则 ，则
， ，故选 A．
4.【答案】A
【解析】由 ， ，，又 ， ，结合选项中图像，可 直接排除 B，C，D，故选 A
5.【答案】D
【解析】注意到 ， ，据此可得 ，函数
为偶函数，则： ，由偶函数的性质可知：函数在区 上单调递减，
故，即 ，故选 D.
6.【答案】C
【解析】函数满 ，则函数关于直 对称，结合函数为奇函数绘制函数的图像如图所示，
的解集即函数位于直线 下方点的横坐标，当 时，由 可 ，结合
可得函数 与函数 交点的横坐标 ，据此可得： 的解集 ，故选 C.
7.【答案】A
【解析】∵函数 是增函数，∴ ，解得 1＜a≤2，∴由几何概型得从区间（0，6）中任取一个值 a，则函数 是增函数的概率为
p，故选 A．
8.【答案】C
【解析】 时 ，对称轴 ，，
；当 时 ， ，
时，
，
，
在
当 ，令 ，解得 上单调递增，在
上单调递减， ， 时 ，，故选
9.【答案
【解析】函 在内有且仅有两个不同的零点，即函 与函 在 内有且仅有两个不同的交点 表示过 ，斜率 的直线，绘制函 的图像如
图所示，考查临界情况，首先考查经过点 且 相切的直线方程的斜率， 可得
，
故切点坐标 ，切线的斜率 ， 切线方程为 ,
切线过点 ，故 ，解得 ， 故切线的斜率 ，
由 可 ，
由 可 ，
结合图形可得实 取值范围是 .
10.【答案】A
【解析】函数的图象如图所示 ，，，，
，，， ，
， ，
时 单调递增 ，， ，
， 的取值范围 ，故

（一）命题特点和预测：分析近 8 年的高考题发现，8 年 8 考，每年 1 题，主要考查利用定积分计算曲边梯形面积、先利用导数研究函数的图象与性质再利用函数图象与性质解不等式、研究函数零点的个数、比较大小或求最值， 年高考仍会考 1 个导数试题，可能考查定积分，也可能考查利用导数研究函数的图象与性质及研究函数零点或方程解的个数问题或函数的最值问题，难度仍为中档题或难题.
（二）历年试题比较：
年份
题目
答案
2018 年
（5）设函数
，若
为奇函数，则曲线
在点
处的
D
切线方程为
A. B. C. D.
（16）已知函 ， 的最小值是 ．
2016 年
（7）函数 |在[–2,2]的图像大致为
D
2015 年
（12）设函数 f (x) = ,其中 1，若存在唯一的整数 x0，使得 f (x0 ) 0，则a 的取值范围是（ ）
A.[-，1） B. ，） C. ，） D. ，1）
D
2014 年
(11).已知函数 f (x) ，若 f (x) 存在唯一的零点 x0 ，且 x0 ＞0，则 a 的取 值范围为
A .（2，+∞） B .（-∞，-2） C .（1，+∞） D .（-∞，-1）
B
2013 年
(16)若函数 f (x) = 的图像关于直线 x =－2 对称，则 f (x) 的最大值是 .
16
2012 年
(12)设点 P 在曲线 y = 1 ex 上，点Q 在曲线 y = ln(2x) 上，则| PQ |的最小值为
2
A .1- ln 2 B . 2 (1 - ln 2) C .1 + ln 2 D . 2 (1 - ln 2)
B
2011 年
(9)由曲线 y = x ，直线 y = x - 2及 y 轴围成的图形的面积为
10 16
（A） (B)4 (C) (D)6
3 3
C
【解析与点睛】
，
，
（2018 年）（5）【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以
所 ，所以曲 在 处的切线方程 ， 化简可 ，故选 D.
（16）【解析】 ，所以当 时函数单
调减， 当 时函数单调增， 从而得到函数的减区间为 ， 函数的增区间为
，所以 时，函数 取得最小值，此 ， 所 ，故答案 .
（2016 年）【解析】由题知该函数是偶函数，当 x > 0 时，所 ，因为，由零点存在性定理知，存在 x0 Î (0,1) ，使得 f ¢(x0 ) = 0 ，当0 < x < x0 时， f ¢(x) < 0 ，当 x0 < x < 1时， f ¢(x) > 0 ，所以 f (x) 在[0, x0 ]是减函数，在[x0 ,1]上是增函数，故选 D.
（2015 年）【解析】设 g (x) = ex (2x -1) ， y = ax - a ，由题知存在唯一的整数 x ，使得 g (x ) 在
0 0
直线 y = ax - a 的下方.
因，所以当 x < - 1 时，g¢(x) ＜0，当 x > - 1 时，g¢(x) ＞0，所以当 x = - 1 时，
2 2 2
- 1
[ g( x )]min = -2e 2 ，
当 x = 0 时， ，直线 y = ax - a 恒过（1,0）斜率且a ，，
且，解得 3
2e
≤ a ＜1，故选 D.
（2014 年）【解析 1】由已知 a ¹ 0 ，令 f ¢(x) = 0 ，得 x = 0 或 x = 2 ，
a
当a > 0 时；
且 f (0) = 1 > 0 ， f (x) 有小于零的零点，不符合题意。
当a < 0 时， 要使 f (x) 有唯一的零点 x 且 x ＞0，只需 f ( 2 ) > 0 ，即 a2 > 4 ， a < -2．选 B
0 0 a
【解析 2】由已知 a ¹ 0 ， f (x) 有唯一的正零点，等价于