THUSSAT2021年3月诊断性测试理科数学试卷-(1).docx

该【THUSSAT2021年3月诊断性测试理科数学试卷-(1) 】是由【liaoyumen】上传分享，文档一共【3】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【THUSSAT2021年3月诊断性测试理科数学试卷-(1) 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。1
中学生标准学术能力诊断性测试 2021 年 3 月测试
7． 已知函数 f ( x) 的局部图象如图所示，则下列选项中可能是函数 f ( x) 解析式的是
理科数学试卷（一卷）
本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
A． y = x2 cos x
C． y = x2 sin x

x2 + y2
í
ìx £ 2,
B． y = x cos x
D． y = x sin x
3
合题目要求的．
1． 已知抛物线C : y2 = 2x ，则抛物线C 的焦点到准线的距离为
8． 已知实数 x, y 满足ïx + y ³ 2, 则
î
ïx + 2 y £ 4,

的最大值为
（第 7 题图）
3
5
A． 1
B． 1

C．1 D． 2
A． 2 B．
C． 4 D． 5
3
4 2 9． 若 x4 + ( x +1)7 = a
+ a ( x + 2) + a
( x + 2)2 +L+ a
( x + 2)7 ，则a =
3
． 已知集合M = {x x - 5x + 4 £ 0}, N = {x 2 > 4}，则
3
2 2
A． M U N = R
x
B． M I N = {x 2 < x < 4}
0 1 2 7
A． 27 B． 35 C． -8
í
ìcos px -1, x ³ 0,
3
D． -43
3
C． M U N = {x x > 2}
D． M I N = {x 2 < x £ 4}
10．已知函数 f ( x) = ï 2
（ a > 0 且a ¹ 1），若函数图象上关于原点对称的点至少
3
3． 已知等差数列{a } 满足： a + a + a = 15 ，则a + a =
î- loga (-x), x < 0,
3
n 2 5 8 3 7
有 3 对，则实数a 的取值范围是
3
A． 3 B． 5 C． 7 D．10
4． 己知向量OA = (-1, 2), OB = (3, m) ．若OA ^ AB ，则实数m 的值为
æ 6 ö
A． ç 0, 6 ÷
æ 6 ö
B． ç 6 ,1÷
æ 5 ö
C． ç 0, 5 ÷
æ 5 ö
D． ç 5 ,1÷
3
è ø è ø è ø è ø
3
2
A． 3
2
B． 4 C． - 3
2
D． -4
11．在棱长为4
的正四面体 A - BCD 中，点 E, F 分别为直线 AB, CD 上的动点，点 P 为 EF 中
3
5． 某个国家某种病毒传播的中期，感染人数 y 和时间 x（单
点， Q 为正四面体中心（满足QA = QB = QC = QD ），若 PQ =
，则 EF 长度为
3
位：天）在 18 天里的散点图如图所示，下面四个回归方
A． 2 B．
C． 3 D． 2
3
6
6
程类型中最适宜作为感染人数 y 和时间 x 的回归方程类
12．已知实数a, b, c 满足a + b + c = 1, a2 + b2 + c2 = 1 ，则a3 + b3 + c3 的最小值是
3
型的是
A． y = a + bx
B． y = a + bex
（第 5 题图）
A． 1
3
B． 5
9
C． 7
9
D．1
3
C． y = a + b ln x
D． y = a + b
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
1- i
3
13． 1+ 2i （其中i 是虚数单位）的共轭复数为 ．
19
x
6． 已知△ ABC 的三个内角 A, B, C 的对边边长分别为a, b, c ，若2a = 3b, A = 2B ，则cos B =

14．已 知函数
f ( x) = cos x (
sin x - cos x)- 1 , x Î[0, p] ， 则函数 f ( x) 的单调递增区间
3
A． 2
3
B． 3
4
C． 4
5
D． 0
2
为 ．
3
x2 y2 p
22
15．已知双曲线 -
a2 b2
=（1 a > 0, b > 0）的焦点为 F1, F2 , P 是双曲线上一点，且ÐF1PF2 = 3 ．若
（1）求证： O, M , N 三点共线；
3
△ F1PF2 的外接圆和内切圆的半径分别为 R, r ，且 R=4r ，则双曲线的离心率为 ．

AB × FM
FN
（2）求

的最小值．
3
1 1 1- x
3
[
16．已知函数 f ( x) = ax -1 + 2
（ a > 0 且a ¹ 1），
g ( x) = ．若对任意的 x Î 1, +¥) 不等式
1+ x
21．（12 分）已知 f ( x) = ln ( x +1) - ax 在(0, +¥) 有零点 x0 ．
3
f ( x) g ( x -1) < 2 - f ( x) 恒成立，则实数a 的取值范围为 ．

（1）求实数a 的取值范围；

（第 20 题图）
3
三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为
æ 1 ö 1
3
必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（2）求证： 2 ç
è
-1÷ < x0 < ea -1．
a
ø
3
（一）必考题：共 60 分．
2
17．（12 分）已知数列{an} 的前n 项和 Sn ，且Sn - an = (n -1)
（1）求数列{an} 的通项公式；

2an
S
, bn = 2 ．
n
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．（10 分）[选修 4－4：坐标系与参数方程]
3
（2）求数列{bn} 的最小项的值．
ìx = 2 +
ï
4k ,
1+ k 2
3
18．（12 分）如图，四棱锥 P - ABCD 中， AD P

BC ，平面PAD ^
在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C1 的参数方程为í
ï
ï y =
î
2 (1- k 2 )
1+ k 2
（ k 为参数）．以原点O 为极
,
3
平面 PBC ．若ÐBCD = π , ÐPBC = π , AD = CD = 2, BC = 1． 3 2
1

2
r
点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为 = ．
3+cos2q - sin2 q
3
（ ）证明： PB ^ PA ；
3
（2）若 PA = 2PC ，求二面角 P - BC - A 的余弦值．
19．（12 分）袋中有大小完全相同的 7 个白球，3 个黑球．
（1）若甲一次性抽取 4 个球，求甲至多抽到一个黑球的概率；
（第 18 题图）
（1）直接写出曲线C2 的普通方程；
（2）设 A 是曲线C1 上的动点， B 是曲线C2 上的动点，求 AB 的最大值．
23．（10 分）[选修 4－5：不等式选讲]
3
3
（2）若乙共抽取 4 次，每次抽取 1 个球，记录好球的颜色后再放回袋子中，等待下次抽取，且
规定抽到白球得 10 分，抽到黑球得 20 分，求乙总得分 X 的分布列和数学期望．
x2
已知a, b, c 均为正数，函数 f ( x) =
（1）求2a2 + 3b2 + 6c2 的最小值；
x - a + x + b + c 的最小值为 1．
3
20．（12 分）如图，已知椭圆C :
5
y2 = 1 的右焦点为 F ，原点为O ，椭圆的动弦 AB 过焦点F

（2）求证：

+ + > ．
3
a2 + ab + b2
b2 + bc + c2
c2 + ca + a2
3
且不垂直于坐标轴，弦 AB 的中点为 N ，椭圆C 在点 A, B 处的两切线的交点为M ． 2
3