§6.2-等差数列及其前n项和(试题部分).docx

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探考情 悟真题
【考情探究】
考点
内容解读
5年考情
预测
热度
考题示例
考向
关联考点
等差数列
的定义及
通项公式
①理解等差数列的概念.②掌握等差数列的通项公式.③了解等差数列与一次函数的关系
2019课标全国Ⅲ,14,5分
等差数列基本量的计算
求和公式
★★★
2016课标全国Ⅱ,17,12分
等差数列基本量的计算
分段函数
等差数列
的性质
能利用等差数列的性质解决相应问题
2015课标Ⅱ,5,5分
等差数列性质的应用
求和公式
★★★
等差数
列的前
n项和
掌握等差数列的前n项和公式
2018课标全国Ⅱ,17,12分
求前n项和的最值
二次函数求最值
★★★
2015课标Ⅰ,7,5分
等差数列前n项和公式
等差数列的通项公式
2019课标全国Ⅰ,18,12分
求等差数列的通项公式及前n项和
不等式的求解
分析解读
等差数列是高考考查的重点内容,主要考查等差数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式、,属于中低档题.
破考点 练考向
【考点集训】
考点一　等差数列的定义及通项公式
1.(2018陕西咸阳12月模拟,7)《张丘建算经》卷上一题大意为今有女善织,日益功疾,且从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,现在一月(按30天计)共织布390尺,最后一天织布21尺,则该女第一天共织多少布?(　　)

答案　C　
{an}中,a1=1,a2=2,2an+12=an+22+an2,则a6等于(　　)

答案　C　
3.(2018河南开封定位考试,17)已知数列{an}满足a1=12,且an+1=2an2+an.
(1)求证:数列1an是等差数列;
(2)若bn=anan+1,求数列{bn}的前n项和Sn.
答案　(1)证明:∵an+1=2an2+an,∴1an+1=2+an2an,
∴1an+1-1an=12.
∴数列1an是以2为首项,12为公差的等差数列.
(2)由(1)知an=2n+3,∴bn=4(n+3)(n+4)=41n+3-1n+4,
∴Sn=414-15+15-16+…+1n+3-1n+4
=414-1n+4=nn+4.
考点二　等差数列的性质
　(2019湖北宜昌模拟,6)已知数列{an}满足5an+1=25·5an,且a2+a4+a6=9,则log13(a5+a7+a9)=(　　)
A.-3 C.-13
答案　A　
考点三　等差数列的前n项和
答案　D　
2.(2019江西九江高三第一次十校联考,7)已知数列{an}满足2an+1=2an-1(n∈N*),a1=1,S=a1+a4+a7+…+a37,则S的值为(　　)
B.-104 C.-96
答案　B　
3.(2019福建龙岩永定模拟,10)已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且SnTn=3n2n+1,则a11b11=(　　)

答案　D　
炼技法 提能力
【方法集训】
方法1　等差数列的判定与证明的方法
　(2019福建三明模拟,17)已知数列{an}中,an=2n-1.
(1)证明:数列{an}是等差数列;
(2)若数列{an}的前n项和Sn=25,求n.
答案　(1)证明:∵an+1-an=2(n+1)-1-(2n-1)=2,a1=1,
∴数列{an}是等差数列,首项为1,公差为2.
(2)由(1)得数列{an}的前n项和Sn=n+(n-1)n2×2=n2,由Sn=25得n2=25,又n>0,解得n=5.
方法2　等差数列前n项和的最值问题的解决方法
1.(2019江西高安模拟,11)已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,满足a1+3a2=S6,给出下列结论:(1)a7=0;(2)S13=0;(3)S7最小;(4)S5=(　　)

答案　C　
2.(2019福建龙岩新罗模拟,12)已知等差数列{an}的公差为-2,前n项和为Sn,a3,a4,a5为某三角形的三边长,且该三角形有一个内角为120°,若Sn≤Sm对任意的n∈N*恒成立,则实数m=(　　)

答案　B　
3.(2019福建龙岩新罗模拟,16)等差数列{an}中,Sn是它的前n项和,且S6<S7,S6>S8,给出下列结论:
①数列{an}的公差d<0;②S9<S6;③S14<0;④S7一定是Sn中的最大值.
其中正确的是　　　　(填序号). 
答案　①②③④
【五年高考】
A组　统一命题·课标卷题组
考点一　等差数列的定义及通项公式
1.(2019课标全Sn为等差数列{an}=5,a7=13,则S10=　　　　. 
答案　100
2.(2016课标全国Ⅱ,17,12分)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[]=0,[]=2.
答案　(1)设数列{an}的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.
解得a1=1,d=25.(3分)
所以{an}的通项公式为an=2n+35.(5分)
(2)由(1)知,bn=2n+35.(6分)
当n=1,2,3时,1≤2n+35<2,bn=1;
当n=4,5时,2<2n+35<3,bn=2;
当n=6,7,8时,3≤2n+35<4,bn=3;
当n=9,10时,4<2n+35<5,bn=4.(10分)
所以数列{bn}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.(12分)
考点二　等差数列的性质
　(2015课标Ⅱ,5,5分)设Sn是等差数列{an}+a3+a5=3,则S5=(　　)

答案　A　
考点三　等差数列的前n项和
1.(2015课标Ⅰ,7,5分)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}=4S4,则a10=(　　)

答案　B　
2.(2019课标全Sn为等差数列{an}=-a5.
(1)若a3=4,求{an}的通项公式;
(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.
答案　本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式;考查学生对数列基础知识的掌握程度和应用能力,主要考查数学运算的核心素养.
(1)设{an}的公差为d.
由S9=-a5得a1+4d=0.
由a3=4得a1+2d=4.
于是a1=8,d=-2.
因此{an}的通项公式为an=10-2n.
(2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=n(n-9)d2.
由a1>0知d<0,故Sn≥an等价于n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10.
所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N}.
3.(2018课标全Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
答案　(1)设{an}的公差为d,
由题意得3a1+3d=-15.
由a1=-7得d=2.
所以{an}的通项公式为an=2n-9.
(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.
所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.
B组　自主命题·省(区、市)卷题组
考点一　等差数列的定义及通项公式
1.(2016浙江,8,5分)如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*.(P≠Q表示点P与Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn为△AnBnBn+1的面积,则(　　)
A.{Sn}是等差数列 B.{Sn2}是等差数列
C.{dn}是等差数列 D.{dn2}是等差数列
答案　A　
2.(2019江苏,8,5分)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,+a8=0,S9=27,则S8的值是　　　　. 
答案　16
考点二　等差数列的性质
　(2015陕西,13,5分)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为　　　　. 
答案　5
考点三　等差数列的前n项和
1.(2017浙江,6,4分)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的(　　)


答案　C　
2.(2019北京,16,13分)设{an}是等差数列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值.
答案　本题属等差、等比数列的综合运用,重在考查等差、等比数列的基础知识、基本运算,考查的学科素养为数学运算.
(1)设{an}的公差为d.
因为a1=-10,
所以a2=-10+d,a3=-10+2d,a4=-10+3d.
因为a2+10,a3+8,a4+6成等比数列,
所以(a3+8)2=(a2+10)(a4+6).
所以(-2+2d)2=d(-4+3d).
解得d=2.
所以an=a1+(n-1)d=2n-12.
(2)由(1)知,an=2n-12.
所以,当n≥7时,an>0;当n≤6时,an≤0.
所以,Sn的最小值为S6=-30.
C组　教师专用题组
考点一　等差数列的定义及通项公式
1.(2014辽宁,9,5分)设等差数列{an}{2a1an}为递减数列,则(　　)
>0 <0 >0 <0
答案　D　
2.(2013安徽,7,5分)设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=(　　)
A.-6 B.-4 C.-2
答案　A　
3.(2014陕西,14,5分)已知f(x)=x1+x,x≥0,若f1(x)=f(x), fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N+,则f2 014(x)的表达式为　　　　　　　　　　　　　　　. 
答案　f2 014(x)=x1+2 014x
4.(2014浙江,19,14分)已知等差数列{an}的公差d>{an}的前n项和为Sn,a1=1,S2·S3=36.
(1)求d及Sn;
(2)求m,k(m,k∈N*)的值,使得am+am+1+am+2+…+am+k=65.
答案　(1)由题意知(2a1+d)(3a1+3d)=36,
将a1=1代入上式解得d=2或d=-5.
因为d>0,所以d==2n-1,Sn=n2(n∈N*).
(2)由(1)得am+am+1+am+2+…+am+k=(2m+k-1)(k+1),
所以(2m+k-1)(k+1)=65.
由m,k∈N*知2m+k-1≥k+1>1,故2m+k-1=13,k+1=5,
所以m=5,k=4.
5.(2015北京,16,13分)已知等差数列{an}满足a1+a2=10,a4-a3=2.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设等比数列{bn}满足b2=a3,b3=:b6与数列{an}的第几项相等?
答案　(1)设等差数列{an}的公差为d.
因为a4-a3=2,所以d=2.
又因为a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4.
所以an=4+2(n-1)=2n+2(n=1,2,…).
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2=a3=8,b3=a7=16,
所以q=2,b1=4.
所以b6=4×26-1=128.
由128=2n+2得n=63.
所以b6与数列{an}的第63项相等.
6.(2015福建,17,12分)等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=2an-2+n,求b1+b2+b3+…+b10的值.
答案　(1)设等差数列{an}的公差为d.
由已知得a1+d=4,(a1+3d)+(a1+6d)=15,
解得a1=3,d=1.
所以an=a1+(n-1)d=n+2.
(2)由(1)可得bn=2n+n.
所以b1+b2+b3+…+b10
=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10)
=(2+22+23+…+210)+(1+2+3+…+10)
=2(1-210)1-2+(1+10)×102
=(211-2)+55=211+53=2 101.
7.(2013课标Ⅰ,17,12分)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列1a2n-1a2n+1的前n项和.
答案　(1)设{an}的公差为d,则Sn=na1+n(n-1)2d.
由已知可得3a1+3d=0,5a1+10d=-=1,d=-1.
故{an}的通项公式为an=2-n.
(2)由(1)知1a2n-1a2n+1=1(3-2n)(1-2n)=1212n-3-12n-1,
从而数列1a2n-1a2n+1的前n项和为
121-1-11+11-13+…+12n-3-12n-1=n1-2n.
8.(2013江西,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1.
(1)求证:a,b,c成等差数列;
(2)若C=2π3,求ab的值.
答案　(1)证明:由已知得sin Asin B+sin Bsin C=2sin2B,
因为sin B≠0,所以sin A+sin C=2sin B,
由正弦定理,有a+c=2b,即a,b,c成等差数列.
(2)由C=2π3,c=2b-a及余弦定理得(2b-a)2=a2+b2+ab,即有5ab-3b2=0,所以ab=35.
考点二　等差数列的性质
1.(2014课标Ⅱ,5,5分)等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=(　　)
(n+1) (n-1)
(n+1)2 (n-1)2
答案　A　
2.(2014重庆,2,5分)在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则a7=(　　)

答案　B　
3.(2013辽宁,4,5分)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题:
p1:数列{an}是递增数列; p2:数列{nan}是递增数列;
p3:数列ann是递增数列; p4:数列{an+3nd}是递增数列.
其中的真命题为(　　)
,p2 ,p4
,p3 ,p4
答案　D　
考点三　等差数列的前n项和
答案　D
2.(2015安徽,13,5分)已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+12(n≥2),则数列{an}的前9项和等于　　　　. 
答案　27
3.(2014重庆,16,13分)已知{an}是首项为1,公差为2的等差数列,Sn表示{an}的前n项和.
(1)求an及Sn;
(2)设{bn}是首项为2的等比数列,公比q满足q2-(a4+1)q+S4={bn}的通项公式及其前n项和Tn.
答案　(1)因为{an}是首项a1=1,公差d=2的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=2n-1.
故Sn=1+3+…+(2n-1)=n(a1+an)2=n(1+2n-1)2=n2.
(2)由(1)得a4=7,S4=-(a4+1)q+S4=0,即q2-8q+16=0,所以(q-4)2=0,从而q=4.
又因为b1=2,{bn}是公比q=4的等比数列,
所以bn=b1qn-1=2×4n-1=22n-1.
从而{bn}的前n项和Tn=b1(1-qn)1-q=23(4n-1).
4.(2013浙江,19,14分)在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.
(1)求d,an;
(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.
答案　(1)由题意得5a3·a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4==-1或d=4.
所以an=-n+11,n∈N*或an=4n+6,n∈N*.
(2)设数列{an}<0,由(1)得d=-1,an=-n+11,所以当n≤11时,
|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-12n2+212n.
当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11=12n2-212n+110.
综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|
=-12n2+212n,　　　　n≤11,12n2-212n+110,n≥12.
【三年模拟】
时间:50分钟　分值:70分
一、选择题(每小题5分,共45分)
1.(命题标准样题,4)记Sn为等差数列{an}=2S4,a1=2,则a6=(　　)
A.-15 B.-13
答案　B　
2.(2018河南开封定位考试,5)等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a5=10,S4=16,则数列{an}的公差为(　　)

答案　B　
3.(2020届广西岑溪模拟,4)在等差数列{an}中,a2+a3=1+a4,a5=9,则a8=(　　)

答案　B　
4.(2019江西上饶二模,3)已知等差数列{an},a10=10,其前10项和S10=70,则公差d=(　　)
A.-29 C.-23
答案　D　
答案　D　
6.(2019河北衡水中学二调,3)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2=2,且对任意n>1,n∈N*,满足Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),则S10的值为(　　)

答案　B　
7.(2019山西运城月考,8)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S4=40,Sn=210,Sn-4=130,则n=(　　)

答案　B　
8.(2019湖北黄冈八模,6)设等差数列{an}的前n项和为Sn,等差数列{bn}的前n项和为Tn,若SnTn=2 018n-13n+4,则a3b3=(　　)

答案　D　
9.(2020届河南南阳模拟,7)《九章算术》是我国最重要的数学典籍,“竹九节”问题,题意是:有一根竹子,共九节,,,这根竹子各节容积的总和是(　　)

答案　A　
二、填空题(共5分)
10.(2018四川德阳一模,7)我国古代数学名著《张邱建算经》中有“分钱问题”:今有与人钱,初一人与三钱,次一人与四钱,次一人与五钱,以次与之,转多一钱,与讫,还敛聚与均分之,人得一百钱,问人几何?意思是:将钱分给若干人,第一人给3钱,第二人给4钱,第三人给5钱,以此类推,每人比前一人多给1钱,分完后,再把钱收回平均分给各人,结果每人分得100钱,问有多少人?则题中的人数是　　　　. 
答案　195
三、解答题(共20分)
11.(2020届云南玉溪月考,17)设数列{an}的前n项和为Sn,对任意n∈N*,都有Sn=nan-n(n-1).
(1)求证:数列{an}是等差数列;
(2)若a1=-16,求满足Sn<0的最大正整数n.
答案　(1)证明:因为对任意n∈N*,都有Sn=nan-n(n-1),
所以当n≥2时,Sn-1=(n-1)an-1-(n-1)(n-2),
所以(n-1)an-(n-1)an-1=2(n-1)(n≥2),
所以an-an-1=2(n≥2),
则数列{an}是以a1为首项,2为公差的等差数列.
(2)因为a1=-16,所以an=-16+2(n-1)=2n-18.
则Sn=n(-16+2n-18)2=n2-17n.
由Sn<0,得n2-17n<0,解得0<n<17,
故正整数n的最大值为16.
12.(2020届青海海东模拟,17)在等比数列{an}中,公比q∈(0,1),且满足a3=2,a1a3+2a2a4+a3a5=25.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log2an,数列{bn}的前n项和为Sn,当S11+S22+…+Snn取最大值时,求n的值.
答案　(1)由a1a3+2a2a4+a3a5=25及等比数列的性质可得a22+2a2a4+a42=(a2+a4)2=25,
由a3=2,即a1q2=2①,可得a1>0,由0<q<1可得an>0,
可得a2+a4=5,即a1q+a1q3=5②,
由①②解得q=12(q=2舍去),所以a1=8,
则an=8·12n-1=24-n.
(2)bn=log2an=log224-n=4-n,
可得Sn=12n(3+4-n)=7n-n22,
故Snn=7-n2,
则S11+S22+…+Snn=3+52+…+7-n2
=12n3+7-n2=13n-n24=-14n-1322+16916,
可得n=6或7时,S11+S22+…+Snn取最大值212.