§2.3-二次函数与幂函数(试题部分).docx

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探考情 悟真题
【考情探究】
考点
内容解读
5年考情
预测热度
考题示例
考向
关联考点
二次函数
①了解二次函数的图象与性质;
②结合二次函数的图象,求二次函数的最值、单调区间;
③掌握三个“二次”之间的关系
2017北京,11,5分
求二次函数的值域
利用代数式的
几何意义解题
★★☆
幂函数
了解幂函数的概念,结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=x12的图象,了解它们的变化情况
2016课标全国Ⅲ,7,5分
比较大小
指数运算
★★☆
2018上海,7,5分
幂函数的图象和性质
—
分析解读
本节内容在高考中主要以二次函数和幂函数为载体考查相关知识,如求二次函数的最值,函数零点,以函数性质为命题背景考查二次函数与幂函数图象的应用.
破考点 练考向
【考点集训】
考点一　二次函数
1.(2019河南省实验中学质量预测模拟三,5)已知函数f(x)=3x2-2(m+3)x+m+3的值域为[0,+∞),则实数m的取值范围为(　　)　　　 　　　　　　 　　　　　
A.{0,-3} B.[-3,0]
C.(-∞,-3]∪[0,+∞) D.{0,3}
答案　A　
2.(2019湖南宁乡一中、攸县一中4月联考,7)定义在R上的函数f(x)=-x3+m与函数g(x)=f(x)+x3+x2-kx在[-1,1]上具有相同的单调性,则k的取值范围是(　　)
A.(-∞,-2] B.[2,+∞)
C.[-2,2] D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
答案　B　
3.(2018福建泉州高中毕业班1月单科质量检查,15)若二次函数f(x)=ax2-x+b(a≠0)的最小值为0,则a+4b的取值范围为　　　　. 
答案　[2,+∞)
考点二　幂函数
1.(2018安徽巢湖柘皋中学第三次月考,3)已知p:|m+1|<1,q:幂函数y=(m2-m-1)xm在(0,+∞)上单调递减,则p是q的(　　)


答案　B　
答案　D　
3.(2019湖北宜昌调研,9)若幂函数f(x)=xm的图象过点(2,4),且a=m14,b=log3m,c=cos m,则a,b,c的大小关系是(　　)
<c<a <b<a <a<c <b<c
答案　B　
炼技法 提能力
【方法集训】
方法1　求二次函数在闭区间上的最值(值域)的方法
1.(2018湖北襄樊调研,11)设a,b是关于x的一元二次方程x2-2mx+m+6=0的两个实根,则(a-1)2+(b-1)2的最小值是(　　)　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.-494 D.-6
答案　C　
2.(2019皖东名校联盟第二次联考,9)设b∈R,若函数f(x)=4x-2x+1+b在[-1,1]上的最大值是3,则其在[-1,1]上的最小值是(　　)
D.-1
答案　A　
3.(2018湖北枣阳模拟,20)已知函数f(t)=log2(2-t)+t-1的定义域为D.
(1)求D;
(2)若函数g(x)=x2+2mx-m2在D上存在最小值2,求实数m的值.
答案　(1)由题意知2-t>0,t-1≥0,解得1≤t<2,故D=[1,2).
(2)g(x)=x2+2mx-m2=(x+m)2-2m2,故g(x)的图象的对称轴为直线x=-m.
①当-m≥2,即m≤-2时,g(x)在[1,2)上单调递减,不存在最小值;
②当1<-m<2,即-2<m<-1时,g(x)在[1,-m)上单调递减,在(-m,2)上单调递增,此时g(x)min=g(-m)=-2m2≠2,此时m值不存在;
③当-m≤1,即m≥-1时,g(x)在[1,2)上单调递增,
此时g(x)min=g(1)=1+2m-m2=2,解得m=1.
综上,m=1.
方法2　一元二次方程根的分布问题的解法
1.(2018河南洛阳期末,11)若函数f(x)=x2+ax+2b在区间(0,1)和(1,2)内各有一个零点,则a+b-3a-1的取值范围是(　　)
,1 ,32
,54 ,2
答案　D　
答案　A　
3.(2018福建福安一中测试,14)若函数f(x)=x2-mx+2在区间[1,2]上有零点,则实数m的取值范围是　　　　　　. 
答案　[22,3]
【五年高考】
A组　统一命题·课标卷题组
　(2016课标全国Ⅲ,7,5分)已知a=243,b=323,c=2513,则(　　)　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
<a<c <b<c
<c<a <a<b
答案　A　
B组　自主命题·省(区、市)卷题组
考点一　二次函数
1.(2016浙江,6,5分)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的(　　)　　　　　 　　　　　　 　　　　　　


答案　A　
2.(2017北京,11,5分)已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是　　　　. 
答案　12,1
3.(2015湖北,17,5分)a为实数,函数f(x)=|x2-ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a).当a=　　　　时,g(a)的值最小. 
答案　22-2
考点二　幂函数
　(2018上海,7,5分)已知α∈-2,-1,-12,12,1,2,(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=　　　　. 
答案　-1
C组　教师专用题组
考点一　二次函数
1.(2014北京,8,5分)加工爆米花时,爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),,可以得到最佳加工时间为(　　)


答案　B　
2.(2015浙江,20,15分)设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).
(1)当b=a24+1时,求函数f(x)在[-1,1]上的最小值g(a)的表达式;
(2)已知函数f(x)在[-1,1]上存在零点,0≤b-2a≤1,求b的取值范围.
答案　(1)当b=a24+1时, f(x)=x+a22+1,
故对称轴为直线x=-a2.
当a≤-2时,g(a)=f(1)=a24+a+2.
当-2<a≤2时,g(a)=f-a2=1.
当a>2时,g(a)=f(-1)=a24-a+2.
综上,g(a)=a24+a+2,　a≤-2,1,-2<a≤2,a24-a+2,a>2.
(2)设s,t为方程f(x)=0的解,且-1≤t≤1,则s+t=-a,st=b,
由于0≤b-2a≤1,因此-2tt+2≤s≤1-2tt+2(-1≤t≤1).
当0≤t≤1时,-2t2t+2≤st≤t-2t2t+2,
由于-23≤-2t2t+2≤0和-13≤t-2t2t+2≤9-45,
所以-23≤b≤9-45.
当-1≤t<0时,t-2t2t+2≤st≤-2t2t+2,
由于-2≤-2t2t+2<0和-3≤t-2t2t+2<0,
所以-3≤b<0.
故b的取值范围是[-3,9-45].
3.(2015广东,21,14分)设a为实数,函数f(x)=(x-a)2+|x-a|-a(a-1).
(1)若f(0)≤1,求a的取值范围;
(2)讨论f(x)的单调性;
(3)当a≥2时,讨论f(x)+4x在区间(0,+∞)内的零点个数.
答案　(1)f(0)=a2+|a|-a(a-1)=|a|+a.
当a≤0时, f(0)=0≤1对于任意的a≤0恒成立;
当a>0时, f(0)=2a,令2a≤1,解得0<a≤12.
综上,a的取值范围是-∞,12.
(2)易知函数f(x)的定义域为R.
由题意得, f(x)=x2-(2a+1)x+2a,　x≤a,x2-(2a-1)x,x>a,
则f '(x)=2x-(2a+1),　x≤a,2x-(2a-1),x>a.
当x≤a时, f '(x)=2x-(2a+1)=2(x-a)-1<0,
所以f(x)在区间(-∞,a]上单调递减;
当x>a时, f '(x)=2x-(2a-1)=2(x-a)+1>0,
所以f(x)在区间(a,+∞)上单调递增.
(3)令h(x)=f(x)+4x,由(2)得,
h(x)=x2-(2a+1)x+2a+4x,　0<x≤a,x2-(2a-1)x+4x,x>a,
则h'(x)=2x-(2a+1)-4x2,　0<x≤a,2x-(2a-1)-4x2,x>a,
当0<x≤a时,h'(x)=2x-(2a+1)-4x2=2(x-a)-1-4x2<0,
所以h(x)在区间(0,a]上单调递减;
当x>a时,因为a≥2,
所以x>2,即0<4x2<1,
所以h'(x)=2(x-a)+1-4x2>0,
所以h(x)在区间(a,+∞)上单调递增.
因为h(1)=4>0,
h(2a)=2a+2a>0,
1)若a=2,则h(a)=-a2+a+4a=-4+2+2=0,
此时h(x)在(0,+∞)上有唯一一个零点;
2)若a>2,则h(a)=-a2+a+4a=-a3-a2-4a=-a2(a-1)-4a<0,此时h(x)在区间(0,a)和(a,+∞)上各有一个零点,共两个零点.
综上,当a=2时, f(x)+4x在区间(0,+∞)内有一个零点;
当a>2时, f(x)+4x在区间(0,+∞)内有两个零点.
考点二　幂函数
1.(2014浙江,8,5分)在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的图象可能是(　　)
答案　D　
2.(2014课标Ⅰ,15,5分)设函数f(x)=ex-1,　x<1,x13,x≥1,则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是　　　　　　. 
答案　(-∞,8]
【三年模拟】
时间:40分钟　分值:55分
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.(2019湖北荆州质量检查(一),8)若对任意的x∈[a,a+2],均有(3x+a)3≤8x3,则实数a的取值范围是(　　)　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.(-∞,-2] B.(-∞,-1]
C.(-∞,0] D.[0,+∞)
答案　B　
2.(2019河北沧州全国统一模拟考试,8)已知函数f(x)=23|x|-x23且满足f(2a-1)>f(3),则a的取值范围为(　　)
>2 <2
C.-1<a<2 <-1或a>2
答案　C　
3.(2018河南天一大联考,4)已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m-1)xn的图象上,设a=f1312,b=f(ln π),c=f(2-12),则a,b,c的大小关系为(　　)
<c<b <b<c <c<a <a<c
答案　A　
4.(2018湖北武汉高中毕业班2月调研,11)如果函数f(x)=12(2-m)x2+(n-8)x+1(m>2)在区间[-2,-1]上单调递减,那么mn的最大值为(　　)

答案　B　
5.(2019第二次全国大联考,11)已知函数f(x)=2-|x|,若关于x的不等式f(x)≥x2-x-m的解集中有且仅有1个整数,则实数m的取值范围为(　　)
A.[-3,-1) B.(-3,-1) C.[-2,-1) D.(-2,-1)
答案　C　
6.(2020届甘肃甘谷第一中学第一次检测,4)已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,22),且f(m-2)>1,则m的取值范围是(　　)
<1或m>3 <m<3 <3 >3
答案　D　
二、填空题(共5分)
7.(2019江西南昌第一次模拟,16)若对任意的t∈[1,2],函数f(x)=t2x2-(t+1)x+a总有零点,则实数a的取值范围是　　　　. 
答案　-∞,916
三、解答题(共20分)
8.(2020届甘肃甘谷第一中学第一次检测,19)已知二次函数f(x)=2x2+bx+c满足f(0)=f(2)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在区间[2a,a+1]上是单调函数,求实数a的取值范围.
答案　(1)由f(0)=f(2)=3可得c=3,8+2b+c=3,解得c=3,b=-4,∴f(x)=2x2-4x+3.
(2)易知f(x)的图象的对称轴为直线x=1,且2a<a+1,即a<≥1时,函数f(x)在区间[2a,a+1]上单调递增,解得a≥12.
当a+1≤1时,函数f(x)在区间[2a,a+1]上单调递减,解得a≤0.
综上,实数a的取值范围为(-∞,0]∪12,1.
9.(2020届福建龙海二中期初考试,19)已知y=f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x-3.
(1)用分段函数的形式写出y=f(x)的解析式;
(2)写出y=f(x)的单调区间.
答案　(1)∵y=f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,
当x≥0时,f(x)=x2-2x-3,
∴当x<0时,-x>0,
∴f(x)=f(-x)=(-x)2-2(-x)-3=x2+2x-3.
即x<0时,f(x)=x2+2x-3.
故f(x)=x2-2x-3,x≥0,x2+2x-3,x<0.
(2)当x≥0时,f(x)=x2-2x-3,
此时其图象的对称轴为直线x=1,
∴单调增区间为[1,+∞),单调减区间为[0,1].
当x<0时,f(x)=x2+2x-3,
此时其图象的对称轴为直线x=-1,
∴单调增区间为[-1,0),单调减区间为(-∞,-1].
综上,y=f(x)的单调增区间为[-1,0)和[1,+∞),单调减区间为(-∞,-1]和[0,1].