特殊函数的导数.ppt

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一、知识回眸
复合函数的求导法则
A
已知 ，求 ；
B
已知 ，求 ．
二、情境引入
01
02
03
04
有些隐函数可以化成显函数的形式，但有些隐函数是难以甚至无法化成显函数的形式.
我们把由 定的函数称为显函数；
05
例如， 是显函数，而由方程
确定的 y 是 x 的函数就是隐函数.
函数 与自变量 的关系可由 确定，也可由方程
确定.
而把由方程 确定的 是 的函数称为隐函数.
如果隐函数 可导，如何来求它的导数呢？下面通过具体的例题进行说明.
06
三、学习新知
说明 本题也可从方程中求出显函数 ，然后利用复合函数求导法则求出 ，两种方法结论相同，请同学们自行验证.
04
解得
05
例13 求隐函数 的导数 .
01
将方程两边同时对 求导，即 ，得:
03
解
02
凡是遇到变量 的关系式，先求关系式对变量 的导数，再乘上 对 的导数
01
由上例可以看出，求隐函数 的导数 ，就是将方程 的两边同时对 求导，
02
（即按照复合函数的求导法则进行计算，先求关系式对中间变量的导数，再乘上中间变量对自变量的导数），
03
然后解方程到 .
04
解
C
例14 求由方程 确定的隐函数 关于 的导数.
B
即
D
因为方程两边同时对 求导，得
A
所以
E
所以

不是幂函数，不能看成幂函数的复合函数；
所以也不是指数函数，也不能看成指数函数的复合函数.
例15 求函数 导数.
分析
因为幂函数的底数为自变量，指数为常量，
又因为指数函数的底数为常量，指数为自变量，
由此可见，本题无法直接分解成一个或几个基本初等函数来求导，但可以先将方程两边同时取对数，然后再利用隐函数求导法则求导，这种方法叫做对数求导法.
两边同时取对数得 ，即 ，由隐函数求导法则得
解
即
所以函数的导数为 .
例15 求函数 导数.
两边同时取对数得 ，即 ，利用隐函数求导法则得
例16 求函数 的导数.
解
即
所以函数的导数为