2025年春中考数学《圆的综合题等腰三角形模型》针对演练.doc

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圆旳综合题（等腰三角形模型）
，AB是半圆旳直径，AC为弦，∠ACD＝60°，∠E＝30°.
(1)求证：直线DE与半圆相切；
(2)若BE＝3，求CE旳长．
第1题图
2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O旳切线DE交AC于点E，交AB延长线于点F.
(1)求证：DE⊥AC；
(2)若AB＝10，AE＝8，求BF旳长．
第2题图
3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径旳⊙O交BC于点D，过点D作⊙O旳切线DE，交AC于点E，AC旳反向延长线交⊙
(1)求证：DE⊥AC；
(2)若DE＋EA＝8，⊙O旳半径为10，求AF旳长度．
第3题图
4. 如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，以BC为直径旳⊙O与AC相交于点 D，过点D作DE⊥AB交CB延长线于点E，垂足为点F.
(1)判断DE与⊙O旳位置关系，并阐明理由；
(2)若⊙O旳半径R＝5，tanC＝，求EF旳长．
第4题图
答案
1. (1)证明：如解图，连接OC，
第1题解图
∵∠ACD＝60°，∠E＝30°，根据三角形外角和定理得∠A＝30°，
又∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝30°，
∴∠OCD＝∠OCA＋∠ACD＝90°，即OC⊥DE，
∴直线DE与半圆相切；
(2)解：在Rt△OCE中，∠E＝30°，
∴OE＝2OC，
又∵OC＝OB，
∴OE＝2BE＝6，
∴CE＝OE·cos∠E＝6×＝3.
2. (1)证明：如解图，连接OD、AD，
第2题解图
∵DE切⊙O于点D，
∴OD⊥DE，
∵AB是⊙O旳直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴D是BC旳中点，
又∵O是AB旳中点，
∴OD∥AC，
∴DE⊥AC；
(2)解：∵AB＝10，
∴OB＝OD＝5，
由(1)得OD∥AC，
∴＝＝，
设BF＝x，AE＝8，
∴＝，
解得：x＝，
∴BF＝.
3. (1)证明：如解图，连接AD，
第3题解图
∵AB是⊙O旳直径，∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵OB＝OA，
∴OD∥AC，
∵DE是⊙O旳切线，
∴OD⊥DE，
∴DE⊥AC；
(2)解：如解图，连接BF.
∵AB是⊙O旳直径，∴BF⊥AF，
∵DE⊥CF，∴DE∥BF，
∵点D是BC旳中点，
∴EF＝EC，BF＝2DE.
∵AC＝AB＝20，
∴EC＝20－AE，
∴AF＝EF－AE＝EC－AE＝20－2AE，
∵AE＋DE＝8，
∴DE＝8－AE，
∴BF＝16－2AE，
在Rt△ABF中，由勾股定理得
BF2＋AF2＝AB2，
即(16－2AE)2＋(20－2AE)2＝202，
解得AE＝2或AE＝16(舍)，
∴AF＝20－2AE＝20－4＝16.
4. 解：(1)DE与⊙O相切，
第4题解图
理由：如解图，连接OD，BD，
∵CB是⊙O旳直径，
∴BD⊥AC，
∵BC＝BA，
∴CD＝AD，
∵OC＝OB，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴OD⊥DE，
∵OD为⊙O旳半径，
∴DE是⊙O旳切线；
(2)在Rt△BCD中，
∵tanC＝＝，
∴CD＝2BD.
∵BC＝2R＝10，
由勾股定理得BD2＋CD2＝BC2即BD2＋(2BD)2＝102，
解得BD＝2，CD＝4.
在Rt△ABD中，
∵AB＝BC＝10，DF⊥AB，
AD＝CD＝4，
∴S△ABD＝BD·AD＝AB·DF，
∴DF＝＝＝4，
∵∠C＋∠DBC＝∠ODB＋∠BDE＝90°，∠ODB＝∠OBD，
∴∠BDF＝∠C，
∴tan∠BDF＝tanC＝，
∴BF＝DF＝2.
∵BF∥OD，
∴＝，即＝，
解得EF＝.