用二重积分计算旋转体的体积.ppt

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蜀南竹海
用二重积分计算旋转体的体积
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作为定积分的几何应用，旋转体的体积一般是用定积分来计算。
最后，举例加以说明。
本课件用元素法来推导旋转体体积的二重积分的计算公式。
将二重积分化为二次积分可以得到计算旋转体体积的定积分公式、
旋转轴为坐标轴
先看特殊的情形
定积分的几何应用 3
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设D是上半平面内的一个有界闭区域。将D绕x轴旋转一周得一旋转体，求该旋转体的体积Vx。
我们用元素法来建立旋转体体积的二重积分公式。
D
D
在区域D的(x,y)处取一个面积元素
它到x轴的距离是 y （如图）。
该面积元素绕x轴旋转而成的旋转体的体积约为：
（体积元素）
于是整个区域绕x轴旋转而成的旋转体的体积为：
D
命题1：上半平面内一个有界闭区域D绕x轴旋转而成的旋转体的体积为：
同理
D
命题2：右半平面内一个有界闭区域D绕y轴旋转而成的旋转体的体积为：
定积分的几何应用 7
下面针对不同的区域将二重积分化为定积分得到熟悉的旋转体体积公式
定积分的几何应用 8
x型区域绕 x轴旋转
定积分的几何应用 9
如果
y=f(x)
圆片法
则D绕 x轴旋转的旋转体体积为：
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定积分的几何应用 10