2025年沪科版九年级圆基础题.doc

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沪科版九年级下册数学“圆”基础题及其答案
题号
一
二
三
总分
得分
一、选择题（本大题共2小题，）
如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠P=50∘，那么∠ACB等于(  )
A. 40∘
B. 50∘
C. 65∘
D. 130∘
如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB//CD，若AB=8，∠ABC=30∘，则弦AD的长为(  )
A. 3
B. 43
C. 23
D. 8
二、填空题（本大题共11小题，）
如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D为AC的中点，若∠B=50∘，则∠A的度数为______度.
如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠ABD=62∘，则∠BCD=______．
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如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上两点，连接AC、CD、BD，若CA=CD，∠ACD=80∘，则∠CAB= ______ ∘.
如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD=130∘，则∠BOD=______∘.
如图，AB为⊙O的直径，弦AC=4cm，BC=3cm，CD⊥AB，垂足为D，那么CD的长为______cm．
圆的半径为1，AB是圆中的一条弦，AB=3，则弦AB所对的圆周角的度数为______ ．
如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，已知∠P=60∘，OA=3，那么AB的长为______．
如图，⊙O 的半径为1，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，，OB，AB，PO，若∠APB=60∘，则△PAB的周长为______．
如图，直线AB，CD分别与⊙O相切于B，D两点，且AB⊥CD，垂足为P，连接BD，若BD=4，则阴影部分的面积为______ ．
一顶简易的圆锥形帐蓬，帐篷收起来时伞面的长度有4米，撑开后帐篷高2米，则帐篷撑好后的底面直径是______米.
若圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则母线长为______．
三、解答题（本大题共5小题，）
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如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1 个单位．
(1)把△ABC绕着点C逆时针旋转 90∘，画出旋转后对应的△A1B1C；
(2)求△ABC旋转到△A1B1C时线段AC扫过的面积．
已知，△ABC中，AB=AC，点E是边AC上一点，过点E作EF//BC交AB于点F
(1)如图①，求证：AE=AF；
(2)如图②，将△AEF绕点A逆时针旋转α(0∘<α<144∘)得到△AE′F′.连接CE′BF′．
①若BF′=6，求CE′的长；
②若∠EBC=∠BAC=36∘，在图②的旋转过程中，当CE′//AB时，直接写出旋转角α的大小．
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如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)如果∠BAC=60∘，AD=4，求AC长．
如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为(0，2)，D为⊙C上在第一象限内的一点且∠ODB=60∘．
(1)求线段AB的长及⊙C的半径；
(2)求B点坐标．
如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P是反比例函数y=12x(x>0)图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x轴交于点 A、与y轴交于点B，连接AB．
(1)求证：P为线段AB的中点；
(2)求△AOB的面积．
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答案和解析
【答案】
1. C 2. B
3. 65  
4. 28∘  
5. 40  
6. 100  
7.   
8. 60∘或120∘  
9. 33  
10. 33  
11. 2π−4  
12. 43  
13. 5  
14. 解：(1)如图所示，△A1B1C即为所求；
(2)∵CA=22+22=22，
∴S=90⋅π⋅(22)2360=2π．  
15. (1)证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵EF//BC，
∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠C，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF．
(2)解：①由旋转的性质得，∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，
在△CAE′和△BAF′中，
AE′=AF′∠E′AC=∠F′ABAB=AC，
∴△CAE′≌△BAF′(SAS)，
∴CE′=BF′=6；
②由(1)可知AE=BC，
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所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径(圆弧)与过点C且与AB平行的直线l相交于点M、N，如图，
①当点E的像E′与点M重合时，四边形ABCM是等腰梯形，
所以，∠BAM=∠ABC=72∘，
又∵∠BAC=36∘，
∴α=∠CAM=36∘；
②当点E的像E′与点N重合时，
∵CE′//AB，
∴∠AMN=∠BAM=72∘，
∵AM=AN，
∴∠ANM=∠AMN=72∘，
∴∠MAN=180∘−72∘×2=36∘，
∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=36∘+36∘=72∘，
综上所述，当旋转角α为36∘或72∘．  
16. (1)证明：连接OD，如图，
∵∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，
∴∠1=∠2，
∵OA=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OD//AE，
∵DE⊥AE，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：作OH⊥AC于H，如图，则AH=CH，
∵∠BAC=60∘，
∴∠2=30∘，
在Rt△ADE中，DE=12AD=2，
易得四边形ODEH为矩形，
∴OH=DE=2，
在Rt△OAH中，∵∠OAH=60∘，
∴AH=OH3=233，
∴AC=2AH=433．  
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17. 解：(1)连接AB；∵∠ODB=∠OAB，∠ODB=60∘，
∴∠OAB=60∘，
∵∠AOB是直角，
∴AB是⊙C的直径，∠OBA=30∘；
∴AB=2OA=4，
∴⊙C的半径r=2；
(2)在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB2+OA2=AB2，
∴OB=23，
∴B的坐标为：(23，0)．  
18. (1)证明：∵点A、O、B在⊙P上，且∠AOB=90∘，
∴AB为⊙P直径，
即P为AB中点；
(2)解：∵P为y=12x(x>0)上的点，
设点P的坐标为(m，n)，则mn=12，
过点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，
∴M的坐标为(m，0)，N的坐标为(0，n)，
且OM=m，ON=n，
∵点A、O、B在⊙P上，
∴M为OA中点，OA=2 m；
N为OB中点，OB=2 n，
∴S△AOB=12OA⋅O B=2mn=24．  
【解析】
1. 解：连接OA，OB．
根据切线的性质，得∠OBP=∠OAP=90∘，
根据四边形的内角和定理得∠AOB=130∘，
再根据圆周角定理得∠C=12∠AOB=65∘．
故选：C．
连接OA，OB，先由切线的性质得出∠OBP=∠OAP=90∘，进而得出∠AOB=130∘，再根据圆周角定理即可求解．
综合运用了切线的性质定理、四边形的内角和定理以及圆周角定理．
2. 解：连接BD，
∵AB//CD，
∴∠BAD=∠ADC，
∵∠ADC=∠ABC，∠ABC=30∘，
∴∠ADC=30∘
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，
∴∠BAD=30∘，
∵AB是⊙O的直径，AB=8，
∴∠ADB=90∘，
∴AD=AB⋅cos30∘=8×32=43，
故选B．
根据平行线的性质、圆周角定理和特殊角的三角函数值可以求得AD的长，本题得以解决．
本题考查圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用圆周角定理和数形结合的思想解答．
3. 解：连接OD、OC，
∵点D为AC的中点，
∴∠AOD=∠COD，
∵∠B=50∘，
∴∠AOC=100∘，
∴∠AOD=∠COD=50∘，
∴∠A=∠ODA=65∘，
故答案为：65．
连接OD、OC，根据圆周角定理求出∠AOC=100∘，根据三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
4. 解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90∘，
∵∠ABD=62∘，
∴∠A=90∘−∠ABD=28∘，
∴∠BCD=∠A=28∘．
故答案为28∘．
根据圆周角定理的推论由AB是⊙O的直径得∠ADB=90∘，再利用互余计算出∠A=90∘−∠ABD=28∘，然后再根据圆周角定理求∠BCD的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90∘的圆周角所对的弦是直径．
5. 解：∵∠ACD=80∘，CA=CD，
∴∠CAD=∠CDA=12(180∘−80∘)=50∘，
∴∠ABC=∠ADC=50∘，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90∘，
∴∠CAB=90∘−∠B=40∘．
故答案为：40．
根据等腰三角形的性质先求出∠CDA
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，根据∠CDA=∠CBA，再根据直径的性质得∠ACB=90∘，由此即可解决问题．
本题考查圆周角定理、直径的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
6. 解：∵四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD=130∘，
∴∠A=50∘，
∴∠BOD=100∘．
故答案为100∘．
结合已知条件可以推出∠A=50∘，根据圆周角定理即可推出∠BOD=100∘．
本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，关键在于求出∠A的度数．
7. 解：∵AB为⊙o的直径
∴∠ACB=90∘
∵AC=4cm，BC=3cm
∴AB=5cm
∵CD⊥AB
∴CD的长为AC⋅BCAB=
答案：．
故填空答案：．
由AB为⊙o的直径可以得到∠ACB=90∘，由AC=4cm，BC=3cm利用勾股定理求出AB，而CD⊥AB，利用面积公式可以求出CD．
此题考查了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的高等于两直角边的积除以斜边的长；此题还考查了圆的性质；直径所对的圆周角等于直角．
8. 解：如图，作OH⊥AB于H，连接OA、OB，∠C和∠C′为AB所对的圆周角，
∵OH⊥AB，
∴AH=BH=12AB=32，
在Rt△OAH中，∵cos∠OAH=AHOA=32，
∴∠OAH=30∘，
∴∠AOB=180∘−60∘=120∘，
∴∠C=12∠AOB=60∘，
∴∠C′=180∘−∠C=120∘，
即弦AB所对的圆周角为60∘或120∘．
故答案为60∘或120∘．
如图，作OH⊥AB于H，连接OA、OB，∠C和∠C′为AB所对的圆周角，根据垂径定理得到AH=BH=12AB=32，则利用余弦的定义可得到∠OAH=30∘，接着根据三角形内角和可计算出∠AOB=120∘，然后根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求出∠C和∠C′的度数即可．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，