给定直径图的平面点集7距离问题的研究综述报告.docx

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平面点集距离问题一直是计算几何领域中的经典问题之一。其中直径问题是距离问题的一个重要分支，其目的是找到点集中相距最远的一对点，这两个点之间的距离称为直径，并且直径也是点集的一个关键性质。在现实生活中，这个问题可以应用于最大覆盖问题、最短路径问题、计算机视觉中的特征提取和形状识别等方面。
本文将综述直径问题在平面点集上的研究成果，主要包括基本算法、优化算法、数据结构等方面的内容。
一、基本算法
直径问题最基本的算法是暴力扫描算法，它通过枚举点集中的所有点对来计算直径，时间复杂度为O（n ^ 2）
接下来我们介绍基于极角排序和分治思想的两种改进算法：旋转卡壳和Farthest-Point-Voronoi-Diagram。他们的时间复杂度都可达到O（nlogn）
旋转卡壳算法
该算法是由Toussaint在1983年提出的，创造性地发现平面上的凸包必然是包含直径的。因此，基于求凸包的旋转卡分不断缩小点集范围，最终O（n）找到最远点对。
其比暴力算法的优势在于它通过旋转卡分的方式大大降低了瓶颈操作的数量，将算法的时间复杂度降到了O（n）
Farthest-Point-Voronoi-Diagram算法
该算法是由Dobkin和Kirkpatrick在1983年开发的，与旋转卡分算法相同，该算法基于凸包和分治思想，将平面点集划分为多个子集，然后找到每个子集的最远点。接下来，该算法通过最远点之间的距离，在Voronoi图上构造出最远点对，最终找到全局最优解。
Farthest-Point-Voronoi-Diagram算法比旋转卡分算法更加复杂，其实现需要一些高级数据结构，如Voronoi图和凸壳等。但是，它的时间复杂度O（nlogn）是远低于暴力扫描的。
二、优化算法
前面介绍的算法都有各自的优势，但是在某些情况下，它们的性能依然不够理想，需要进行优化。
高精算法
我们知道，在计算机中，数值计算是存在精度误差的。在直径问题中，这种误差将会影响到最终结果的准确性。因此，由于高精度算法可以通过提高计算机的计算精度来解决精度误差，所以它被广泛应用于直径问题的优化中。
加速算法
另一方面，为了加快算法的速度，研究人员还设计了多种加速算法，如过滤器、启发式算法、快速最近邻等。这些算法在算法复杂度和结果精度之间进行博弈，以从不同角度达到优化算法的目的。
三、数据结构
为了加快算法的计算速度，设计数据结构可以是很有必要的。这里主要介绍一下前面讲过的Voronoi图数据结构和最近邻数据结构。
Voronoi图数据结构
前面提到，Voronoi图可以在优化算法中极大地加快计算速度，因此该数据结构不仅被广泛应用于直径问题中，同时也被应用于计算机图形学、自动机器人等方面。
最近邻数据结构
通过构造最近邻数据结构，我们能够快速定位到一个点的最近邻居。在计算直径时，该数据结构可以帮助我们快速地找到某个点的最近邻居，并同时减少计算距离的次数。因此，最近邻数据结构也是优化算法的关键数据结构之一。
四、总结
以前的研究工作表明，在直径问题的研究中，旋转卡分和Farthest-Point-Voronoi-Diagram算法在平面点集上都有一定的优势，而在实际应用中，往往需要结合不同算法的优势。与此同时，高精算法、加速算法和数据结构也都是解决直径问题的重要手段。
总之，随着计算机科学的发展，直径问题在计算几何中的研究仍然具有重要意义。