2021年华二自招试卷(1).docx

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2011 年华二自主招生试卷
一、 填空题（每题 4 分）
1．已知关于 x 的多项式 ax7 + bx5 + x2 + x +12 （ a 、b 为常数），且当 x = 2 时，该多项式的值为 -8 ，则当 x = -2时，该多项式的值为 ．
2．已知关于 x 的方程 x2 + (a - 2)x + a +1 = 0 的两实根 x 、 x 满足 x + 2 = 4 ，则实数
a = ．
1 2 1
3．已知当船位于处 A 时获悉，在其正东方向相距 10 海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救， 甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30 ，相距 10 海里C 处的乙船，试问乙船应该朝北偏东 度的方向沿直线前往 B 处救援．
ìï
4．关于 x 、 y 的方程组 í
ïî y
x- y = y x y
x
= 1

有 组解．
5．已知 a ，b ，c 均大于零，且 a2 + 2ab + 2ac + 4bc = 20 则a + b + c 的最小值是 ．
6．已知二次函数 y = 2x2 - px + 5 ，当x ³ -2 时， y 的值随 x 的值增加而增加，那么 x = p
对应的 y 值的取值范围是 ．
7．如图所示，正方形 ABCD 的面积设为 1， E 和 F 分别是 AB 和 BC 的中点，则图中阴影部 分 的 面 积 是 ．
8．在直角梯形 ABCD 中，ÐABC = ÐBAD = 90 ，AB = 16 ，对角线 AC 与交 BD 于点 E ，
过 E 作 EF ^ AB 于点 F ， O 为边 AB 的中点，且 F E+
为 ．
E O= 8 ，则 A D+
B C的值
9．以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取从 0 到 1 对应的线段，对
折后（坐标 1 所对应的点与原点重合）再均匀地拉成 1 个单位长度的线段，这一过程称为一
次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标 1 , 变成 1 ，原来的 1 变成 1，等等），那
4 2 2
么原数轴从 0 到 1 对应的线段上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后（ (n ³ 1) ， 恰好被拉到与 1 重合的点所对应的坐标为 ．
10 ．定义 m i n{a b, c,}表 示 实 数 a, b, c 中 的 最 小 值 ， 若
x, y 是 任 意 正 实 数 ， 则
1 ü
M min
x, , y + ý 的最大值是 ．
y þ
二、 计算题（20 分）
11．四个不同的三位整数的首位数字相同，并且它们的和能被它们中的三个数整除，求这些数．（10 分）
O
12．如图，已知PA 切 O 于 A ， ÐAPO = 30o ， AH ^ PO 于 H ，任作割线 PBC 交于点 B 、C ，计算 HC - HB 的值．（10 分）
BC