2021级第二学期期中试卷B参考解答(1)(1).docx

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一．判定下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？
2
3 2
n 2
1. 1+ + + ... + + ...
:
解 因为limn
n®¥
1
2 = lim2 n n®¥
= 1 ¹ 0, 所以级数发散.
¥
2. å
n=1
(-1)n sin p
2n
解: 这是交错级数,由于sin p
> sin p ,且
limsin p
= 0 ,所以由莱布尼
兹定理,此级数收敛.
2n 2(n + 1)

n®¥ 2n
p p = 1,

¥
(-1)n sin
¥ p ¥ p
p
2n
= sin
但由于
lims i n
级数å å 和级数å
n®¥
2n 2n
n=1
n=1 2n
n=1 2n
¥ p ¥
(-1)n sin p
同时收敛同时发散,由于调和级数å 2n 发散,因此级数å
2n 发散,从而
¥
级数å
n=1

(-1)n sin
p
2n 条件收敛.
n=1
n=1
¥
3. å(
n=1
-1)n
nn
3n n!
n nn
解:记un
un+1 un
lim
= (-1)
= lim
3n n!, 则
(n +1)n+1

n
n = lim

(n +1)n

= e < 1,
n®¥
n®¥ 3n+1 (n +1)! 3n n!
n®¥
3nn 3
¥
因此级数å
n=1
(-1)n
收敛,即原级数收敛且为绝对收敛.
nn
3n n!
¥
二．（1）. 求幂级数å(2n -1) x2n-2 的收敛域，并求其和函数.
n=1
¥
（2）. 利用上述幂级数的和函数求数项级数å
n=1
2n -1
22n-2

的和.
n
解: ⑴ 记u = (2n -1)x2n-2 ,则
(2n +1)x2n
(2n -1)x2n-2
2n +1
2n -1
u 2 2
lim
n®¥
 n+1
un
= lim
n®¥
= lim
n®¥
x = x
当 x Î(-1,1) =1 或x=–1 时显然级数发散,因此级数的收敛域为区间(-1,1) .
¥
记 S(x) = å(2n -1) x2n-2 ,则
n=1
x ¥
¥
ò S(x)dx = åòx (2n -1) x2n-2dx = å
x2n-1 = x ,
0 n=1 0
n=1
1- x2
因此级数的和函数为
æ x ö¢

1 æ 1 1 ö¢ = 1+ x2

S (x) = ç 1- x2 ÷
= 2 ç 1- x - 1+ x ÷ 2 .
2
è ø è ø (1- x )
¥ 2n -1 ¥
æ 1 ö2n-2 1 20
⑵ å 22n-2
= å(2n -1) ç 2 ÷
= S( ) = =
2 9
n=1
n=1 è ø
1+ (1 2)2
[1- (1 2)2 ]2
.
三．1．将函数ln(x2 + 4x + 3) 展开成 x 的幂级数，并确定其收敛域。
解: ln(x2 + 4x + 3) = ln(x +1)(x + 3) = ln(3+ x) + ln(1+ x)
= ln 3 + ln(1+ x) + ln(1+ x)
,
3
2
而 ln(1+ x) = x - x
2
x3
3

- ... + (-1)
n-1 xn
n

¥
+ ... = å(-1)
¥
n
n=1
n-1 xn
n
-1 <x £1
x x x
x
2 3
ln(1+ ) = - +
3 2
- ... + (-1)
3

n-1
x + ... = å(-1)
n
n-1 xn
n
3 2 ×3 3×3
n ×3
n=1
n ×3
-1 <
从而
x £ 1, 3

-3 <x £3
ln(x2 + 4x + 3) = ln 3 + ln(1+ x) + ln(1+ x)
3
¥
= ln 3 + å
n=1
n
n- x1
(-1)
n

¥
+ å
n=1
(-1)n-1
xn
n ×3n
= ln 3 + å
- n-1
¥
( 1) 1 n
(1+ )x .
n=1 n 3n
级数的收敛域为-1 < x £ 1.
2．将函数 y = cos x 展开成 x - p
6

的幂级数，并确定其收敛域。
解: cos x = cos(x - p
p p p p p
+ ) = - ) - - )
cos cos(x sin sin(x
6 6 6 6 6 6
¥
由 sin x = å(-1)n
x2n+1
(2n + ,
- ¥ < x < +¥
n=0
¥

n x2n
1)!
cos x = å(-1) ,
- ¥ < x < +¥
n=0
(2n)!
得 cos x =
3 cos(x - p ) - 1 sin(x - p ) 2 6 2 6
3
¥ (x - p
6)2n 1 ¥
(x - p
6)2n+1
= å(-1)n - å(-1)n .
2 n=0
(2n)! 2 n=0
(2n +1)!
收敛域为-¥ < x < +¥ .
四．计算下列各题
已知函数z = x y + x f (u) ，其中 f 可导，而u = y ，求

¶z , ¶z
解: ¶z = y + f (u) + xf ¢(u) ¶u

= y +
x ¶x ¶y
f (u) + xf ¢(u) æ - y ö
¶x ¶x
ç x2 ÷
= y +

f (u) - y
x
è ø
f ¢(u).
¶z = x + xf ¢(u) ¶u
= x + xf ¢(u) æ
1 ö = x +
f ¢(u).
¶x ¶y
ç x ÷
è ø
设 z = (1+ x y) y ，求dz
解:记u = 1+ xy, v = y ,则
dz = d(uv ) = vuv-1du + uv ln udv
= y(1+ xy)y-1d(1+ xy) + (1+ xy)y ln(1+ xy)dy
= y(1+ xy)y-1(xdy + ydx) + (1+ xy)y ln(1+ xy)dy
= y2 (1+ xy)y-1dx + (1+ xy)y-1[xy + (1+ xy) ln(1+ xy)]dy.

¶2 z
= f (u, v)（f 具有二阶连续偏导数），而u = x y, v = x2 + y2 ，求

¶x¶y
解: ¶z =
¶z ¶u + ¶z ¶u
= yf ¢ + 2xf ¢
¶x ¶u ¶x ¶v ¶x u v
¶2 z = ¶( yf ¢ + 2xf ¢) =
u v
f ¢ + y ¶fu¢ + 2x ¶fv¢

¶x¶y ¶y
u ¶y ¶y
= f ¢ + y[¶fu¢ ¶u + ¶fu¢ ¶v ] + 2x[¶fv¢ ¶u + ¶fv¢ ¶v ]

u ¶u ¶y
¶v ¶y
¶u ¶y
¶v ¶y
= fu¢ + y[xfu¢u¢ + 2yfu¢v¢] + 2x[xfv¢u¢ + 2yfv¢v¢]
u uu uv vv
= f ¢ + xyf ¢¢ + 2(x2 + y2 ) f ¢¢ + 4xyf ¢¢.
五． 求函数 u = x yz
在条件 1 + 1 + 1 = 1 (x > 0, y > 0, z > 0) 下的极小值.
x y z
解: 令
F (x, y, z) = xyz - l æ 1 + 1 + 1 -
ç
x y z
ö
1÷, 则
ì ¶F = yz - l
è ø
= 0,
ï ¶x x2
ï ¶F l
í ¶ 2y y
= = =
ï = zx - = 0,
ï
Þ xyz l l l ,
x y z
ï ¶F = xy - l = 0,
î
ï ¶z z2
因此得唯一驻点为 x = y = z = 3, 由问题的实际意义可知函数的最大值存在,从而
m a x
得到 u = 33 = 2 7
x2
y
六．计算:1. 计算òò 2
D
dxdy ， 其中 D 由直线 x = 2, y = x 和双曲线 x y = 1 所
(1,1)
(2,1/2)
围成的闭区域。
解: 积分区域如图,交点为(1,1)和(2,1/2),
D = ì(x, y) 1 £ x £ 2, 1 £ y £ ü
í x xý,
î þ
x2 2 x x2
y
òò 2 dxdy = ò1
2
D
dxò1
x
y2 dy
-
ò
2 æ x2 öx
= ç ÷ dx
= -ò
2 æ x2
ç -
x ö dx =
÷
2 (x3 - x)dx
= 9 .
1 è y ø1
x
1 è x
1 x ø ò1 4
应用二重积分计算由抛物线 y2 = x 与直线 y = x - 2 所围成的闭区域的面积 S.
解:区域入右图.
解: D = {(x, y) y2 £ x £ y + 2, -1 £ y £ 2},
2 y+2
S = òòdxdy = ò-1 dyòy2 dx
D
ò
= 2 (y + 2 - y2 )dy
-1
2
3 2
=
( y + 2 y - y )
= 9 .
2 3 -1 2
1 1 2
dx xe- y dy
交换积分次序计算积分ò0 òx2 .
解: D = {(x, y)
x2 £
y £ 1, 0 £ x £ 1}
= {(x, y) 0 £ x £ y, 0 £ y £ 1}
x2 y
2 0
1
1
ò0 dx
òx2
xe- y2 dy
= ò0 dy ò0
y xe- y2 dx =
1 e- y2 dy
ò
ò
0 0
y
xdx
1
= ò0 e
y2
dy =
1 1 ye
1
ò
0
y2 dy
= 1 (-e

)
- y2 1
0
= 1 (1- e-1 ).
2 4 4