专题1----二次根式的概念、性质与乘除.docx

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知识要点
1．定义：一般地，式子（a≥0）叫做二次根式．其中“”称为二次根号，二次根号下的a叫做被开方数．
2．性质：（a≥0）是一个非负数，即≥0.（双重非负性）
3．乘法运算法则：．反过来，．
4．除法运算法则：．反过来，．
5．最简二次根式：我们把满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式．
6．概念性问题的解决关键在于从概念角度去思考问题解决的方法，这样，复杂的问题也可以找到解决的突破口．
7．乘除运算的正确与否取决于运算方式的选择是否正确，有时可以先化简，有时可以先合并．
典例精析
例1 要使有意义，则x的取值范围是．
【分析】这里求x的取值范围要考虑三个要点，第一个要点是被开方数1－2x≥0，第二个要点是分母x＋3≠0，第三个要点是0次幂的底数－x≠0，这三个条件只有同时成立该式子才有意义．
【解】依题意，得，即，解得x≤且x≠－3且x≠0．
∴x的取值范围是x≤且x≠－3且x≠0．
【点评】取值范围类型的问题需要我们牢牢抓住对分母、被开方数以及0次幂的底数的本质理解才能解决．
拓展与变式1 式子的取值范围是______________．
拓展与变式2 式子的取值范围是______________．
拓展与变式3 如果a是任意实数，下列各式中一定是二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
例2 若，求的值．
【分析】本题看似无法入手，其实最基本的入手方法在于这个式子的被开方数，1－2x与2x－1互为相反数，又都是被开方数，因此可以得到，从而得到．后面的问题就迎刃而解了．
【解】∵，∴，∴，∴．
【点评】从被开方数的取值范围入手，是化简复杂根式的一种策略．
拓展与变式4 已知，求y的取值范围．
拓展与变式5 已知，求x的个位数字．
拓展与变式6 已知实数a满足，则代数式a－20172的值是多少？
【反思】所有二次根式的相关运算都是建立在二次根式有意义的基础上进行的，所以当我们束手无策时，可以考虑其中变量的取值范围，它可能就是一个非常重要的突破口．
例3 计算：
【解】法1：原式 法2：原式
【点评】两种算法的优劣十分明显，第一种算法逆向地使用了二次根式运算法则，极大地减少了运算量和失误的可能性，正确选择运算方式是运算的关键．
拓展与变式7 计算：．
拓展与变式8 计算：等于（ ）．
A． B． C． D．
拓展与变式9 化简：．
【反思】无论是字母型的化简运算还是数字型的计算，在计算之前都需要我们先选择好策略，这些计算成立的前提都建立在对运算法则的正确运用的基础之上．
专题突破
1．若，则a的取值范围是（ ）．
A．－4≤a≤4 B．a＞－4 C．a≤4 D．－4＜a＜4
2．若是整数，则正整数n的最小值是（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
3．计算：
（1）； （2）．
4．把根号外的因式移入根号内，并写出运算结果．
5．已知：x，y，z适合关系式
，试求x，y，z的值．