二元函数的极限教学课件.ppt

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和连续性
一、多元函数的极限
二元函数的极限
1、一元函数极限的定义，记号
2、一元函数连续的定义
复习:
一、二元函数的极限
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定义. 设函数
时,相应的函数值无限趋于一个确定的常数A,
当
记作：
的某空心邻域
内有定义,如果点
以任何方式无限趋于点
在点P0
P0
则称 A 为
函数
时的极限.
注意：
的路径是任意的；
一元函数的极限性质在这里亦成立．
上面介绍的极限也称为二重极限；
用极限定义计算多元函数的极限及证
明极限的存在比较麻烦，不作要求。
 若当点
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趋于不同值或有的极限不存在，
解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,
在点 (0, 0) 的极限.
则可以断定函数极限
则有
k 值不同极限不同 !
在 (0,0) 点极限不存在 .
以不同方式趋于
不存在 .
例1. 讨论函数
函数
 二重极限
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仅知其中一个存在,
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推不出其它二者存在.
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不同.
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如果它们都存在, 则三者相等.
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例如,
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显然
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与累次极限
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但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .
二、二元函数的连续性
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定义 . 设二元函数
如果函数在定义域 D 上各点处都连续, 则称此函数在
,如果
否则称为不连续,
称为间断点 .
元函数
D上连续.
处连续,
在点P0
邻域内有定义,且
的某
存在,则称二
在点P0
例如, 函数
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在点(0 , 0) 极限不存在,
又如, 函数
上间断.
故 ( 0, 0 )为其间断点.
在圆周
结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.
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闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:
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定理：（1）若 f (x, y) 在有界闭域 D 上连续, 则该函
在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;
(3) 对任意
(有界性定理)
(最值定理)
(介值定理)
(证明略)
数是有界函数。

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解:
例3. 求函数
解: 原式
的连续域.