打靶法求边值问题.doc

本科毕业论文(设计)
论文(设计)题目:打靶法求边值问题
学院:理学院
专业:数学应用数学
班级:091
学号:0907010228
学生姓名:钟玲声
指导教师:汪萌萌
2013年 4月 21日
打靶法求边值问题
目录
摘要: 1
引言: 2
第一章常微分方程初值问题的解法 3
常微分方程的离散化 3
欧拉(Euler)方法 4
改进的Euler方法 6
龙格—库塔(Runge—Kutta)方法 7
4阶龙格—库塔公式 9
线性多步法 9
第二章边值问题的数值解法 11
打靶法 11
差分法 15
第三章 Matlab数值解 16
常微分方程的解法 16
打靶法的matlab实现 23
致谢: 27
主要参考文献 27
摘要
常微分方程在很多领域都有非常重要的应用,然而很多常微分方程的解是无法用解析解写出的,因而要借助于数值方法。本文介绍了常微分方程边值问题的常见解法,例如:欧拉法,龙格—库塔法等。而对于常微分方程边值问题,常见的解法有打靶法、有限差分法和有限元法等。在本文中,我们重点介绍了打靶法,并给出了相关算法,然后结合实例编写程序进行了上机实验。

关键词:常微分方程,初值问题,边值问题,打靶法
Abstract
Ordinary differential equations play an important role in different areas. However, most equations cannot be expressed analytically. We need to use numerical methods. In this paper, we discuss the methods of solving initial value problem (IVP) , such as Euler method Runge-Kutta method. For boundary value problem (BVP), shooting method, finite difference method (FDM) and finite element method(FEM) are presented. We mainly discuss shooting method and give the algorithm. Numerical experiment is presented in the end of the paper.

Keywords: Ordinary differential equations, initial value problem, boundary value problem, the shooting method
引言
虽然常微分方程理论发展已经有几百年,但目前仍然在发展中。特别是最近三十年,常微分方程迎来了发展的高峰。常微分方程边值问题是常微分方程理论的重要组成部分, 在众多科学技术领域中有着特别广泛的应用。打靶法是求解常微分方程边值问题的一种数值方法,它的基本思想是将微分方程的边值问题转化为初值问题来求解,它的比较突出的特点是精度很高,程序很简单,实用性很强。
边值问题:对n阶常微分方程
如果能在不同的两点和处,唯一地刻画n个附加条件,并且在区间上求解,则称此为边值问题。
在微分方程中,所谓的边值问题就是我们给定的一个微分方程和一组被我们称之为边界条件的约束条件。边值问题的解一般情况下是符合特定的约束条件的微分方程的解。我们在求解这个微分方程时,除了给出方程的本身,往往还需要提供一定的定解条件。最常见的就是给出初值问题,也就是说给出的定解条件为初始条件;但是也有一些情况,定解条件要求我们考虑所讨论区域的边界,比如说在一个给定区间讨论时,把定解条件在区间的两个端点给出,给定的这种定解条件就被我们称之为边界条件,与之相应的定解问题我们就称之为边值问题。
常微分方程组初值问题的解法
常微分方程的离散化
下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题,它的一般形式是
(1)
在下面的讨论中,总假定函数连续,且满足Lipschitz条件,也就是存在常数,使得
那么,根据常微分方程理论知,初值问题(1)的解存在并且唯一.
所谓数值解法,就是求问题(1)的解在若干点

处的近似值的方法,称为问题(1)的数值解,,我们总取步长为常量.
建立数值解法,首先要将微分方程离散化,一般采用以下几种方法:

如果用向