最优化之多目标规划.ppt

数学建模讲义
曲阜师范大学数学系
Qufu Normal University
主讲人:吕迪迪
最优化模型
---多目标规划
第四讲多目标规划方法
多目标规划解的讨论——非劣解
多目标规划及其求解技术简介
效用最优化模型罚款模型
约束模型目标规划模型
目标达到法
多目标规划应用实例
多目标规划是数学规划的一个分支。
研究多于一个的目标函数在给定区域上的最优化。又称多目标最优化。通常记为 
MOP(multi-objective programming)。
在很多实际问题中,例如经济、管理、军事、科学和工程设计等领域,衡量一个方案的好坏往往难以用一个指标来判断,而需要用多个目标来比较,而这些目标有时不甚协调,甚至是矛盾的。因此有许多学者致力于这方面的研究。
1896年法国经济学家 V. 帕雷托最早研究不可比较目标的优化问题,之后,·诺伊曼、、、,但是尚未有一个完全令人满意的定义。
求解多目标规划的方法大体上有以下几种:
一种是化多为少的方法 , 即把多目标化为比较容易求解的单目标或双目标,如主要目标法、线性加权法、理想点法等;
另一种叫分层序列法,即把目标按其重要性给出一个序列,每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解,直到求出共同的最优解。
对多目标的线性规划除以上方法外还可以适当修正单纯形法来求解;还有一种称为层次分析法,是由美国运筹学家沙旦于70年代提出的,这是一种定性与定量相结合的多目标决策与分析方法,对于目标结构复杂且缺乏必要的数据的情况更为实用。
多目标规划模型
(一)任何多目标规划问题,都由两个基本部分组成:
(1)两个以上的目标函数;
(2)若干个约束条件。
(二)对于多目标规划问题,可以将其数学模型一般地描写为如下形式:
一多目标规划及其非劣解
式中: 为决策变量向量。
缩写形式:
有n个决策变量,k个目标函数, m个约束方程,
则:
Z=F(X) 是k维函数向量,
(X)是m维函数向量;
G是m维常数向量;
(1)
(2)
对于线性多目标规划问题,可以进一步用矩阵表示:
式中:
X 为n 维决策变量向量;
C 为k×n 矩阵,即目标函数系数矩阵;
A 为m×n 矩阵,即约束方程系数矩阵;
b 为m 维的向量,即约束向量。
多目标规划的非劣解
多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的最优化(最大或最小),而不顾其它目标。
对于上述多目标规划问题,求解就意味着需要做出如下的复合选择:
▲每一个目标函数取什么值,原问题可以得到最满意的解决?
▲每一个决策变量取什么值,原问题可以得到最满意的解决?
在图1中,max(f1, f2) .就方案①和②来说,①的 f2 目标值比②大,但其目标值 f1 比②小,因此无法确定这两个方案的优与劣。
在各个方案之间,显然:④比①好,⑤比④好, ⑥比②好, ⑦比③好……。
非劣解可以用图1说明。
图1 多目标规划的劣解与非劣解