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倒谱分析
(1).倒频谱的数学描述
倒频谱函数CF(q)(power cepstrum)其数学表达式为:
      () 
CF(q)又叫功率倒频谱,或叫对数功率谱的功率谱。工程上常用的是式()的开方形式,即:
      ()
C0(q)称为幅值倒频谱,有时简称倒频谱。
倒频谱变量q的物理意义
为了使其定义更加明确,还可以定义:
     () 
即倒频谱定义为信号的双边功率谱对数加权,再取其傅里叶逆变换,联系一下信号的自相关函数:
 
看出,这种定义方法与自相关函数很相近,变量q与τ在量纲上完全相同。
为了反映出相位信息,分离后能恢复原信号,又提出一种复倒频谱的运算方法。若信号x(t)的傅里叶变换为X(f):
     () 
x(t)的倒频谱记为:
     () 
显而易见,它保留了相位的信息。
倒频谱与相关函数不同的只差对数加权,目的是使再变换以后的信号能量集中,扩大动态分析的频谱范围和提高再变换的精度。还可以解卷积(褶积)成分,易于对原信号的分离和识别。
 (2).倒频谱的应用
分离信息通道对信号的影响
。在机械状态监测和故障诊断中,所测得的信号,往往是由故障源经系统路径的传输而得到的响应,也就是说它不是原故障点的信号,如欲得到该源信号,必须删除传递通道的影响。如在噪声测量时,所测得之信号,不仅有源信号而且又有不同方向反射回来的回声信号的混入,要提取源信号,也必须删除回声的干扰信号。若系统的输入为x(t),输出为y(t),脉冲响应函数是h(t),两者的时域关系为: y(t)=x(t)*h(t) 
频域为: Y(f)=X(f)*H(f)或Sy(f)=Sx(f)*|H(f)|2
对上式两边取对数,则有:
     ()
 
式()关系如图()所示,源信号为具有明显周期特征的信号,经过系统特性logGk(f)的影响修正,合成而得输出信号logGy(f)。
对于()式进一步作傅里叶变换,即可得幅值倒频谱:
    ()
 
即:
    ()
 
以上推导可知,信号在时域可以利用x(t)与h(t)的卷积求输出;在频域则变成X(f)与H(f)的乘积关系;而在倒频域则变成Cx(q)和Ch(q)相加的关系,使系统特特性Ch(q)与信号特性Cx(q)明显区别开来,这对清除传递通道的影响很有用处,而用功率谱处理就很难实现。
图()即为相应的倒频谱图。从图上清楚地表明有两个组成部分:一部分是高倒频率q2,反映源信号特征;另一部分是低倒频率q1,反映系统的特性。两部分在倒频谱图上占有不同的倒频率范围,根据需要可以将信号与系统的影响分开,可以删除以保留源信号。
用倒频谱诊断齿轮故障
对于高速大型旋转机械,其旋转状况是复杂的,尤其当设备出现不对中,轴承或齿轮的缺陷、油膜涡动、磨擦、陷流及质量不对称等现象时,则振动更为复杂,用一般频谱分析方法已经难于辩识(识别反映缺陷的频率分量),而用倒频谱,则会增强识别能力。
如一对工作中的齿轮,在实测得到的振动或噪声信号中,包含着一定数量的周期分量。如果齿轮产生缺陷,则其振动或噪声信号还将大量增加谐波分量及所谓的边带频率成分。
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