相似矩阵的性质及应用.doc

华北水利水电大学
相似矩阵的性质及应用
课程名称: 线性代数
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2013年11月 6 日
摘要:若矩阵P可逆,则矩阵P-1AP与A称为相似。矩阵相似的概念是为深入研究矩阵特性而提出的,其中一部分的问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题
进而使问题研究简化,而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似,那么这类问题就只能用定义或者若而当标准型来解决。相似矩阵有很多应用。例如:利用相似矩阵的性质来确定矩阵中未知元素方法的完整性;两个相似矩阵属于同一个特征值的特征向量之间的关系;矩阵相似与特征多项式的等价条件及相关结果;尤其是矩阵的标准形及其对角化问题,在高等代数和其他学科中都有极其广泛的应用。本文将讨论相似矩阵的有关性质及其应用。

关键词:相似矩阵;对角化;Jordan标准型;特征向量;特征值
英文题目:The properties and application of similar matrix
Abstract: There are a lot of applications about similar matrix. Matrix for further research is the concept of similarity matrix characteristics, and that part of the problem can be converted into similar problems with a diagonalization matrix to simplify the problem study, while others matrix cannot be similar to a diagonal matrix, so this kind of problem can only use a definition or if and when the standard to example, we can discuss the integrality of the method by using the properties of similar matrices to confirm unknown elements and characteristic subspaces of similar matrices belong to the same characteristic value are isomorphism. Also we may discuss the equivalent conditions for similar matrices and their characteristic polynomial and their corresponding results, especially, applications of digitalization matrices in advanced algebra theory and other subjects are probed this paper I will give out some corresponding properties of similar matrices and show their appliance.
Key words:similar matrices; diagonal matrix; Jordan’s normal form; characteristic value; characteristic vector
引言:
矩阵相似的理论是数学分析的重要概念之一,同时也是教学中的难点之一,特别是矩阵相似与可对角化矩阵问题,在各个版本的数学类图书中,往往将这两个问题紧凑的联系在一起。
由于矩阵相似的应用范围相当广泛。本文主要是从矩阵相似定义以及各种性质的理论基础上直接引入矩阵在微分方程、自动控制理论基础等领域应用的实例并由此进行研究,也使这部分内容能够相互融合起来,更有利于学习者的掌握和应用。



设A,B是n阶方阵,如果存在可逆阵P使得P-1AP=B,则称矩阵A与B相似.
若矩阵A相似于对角阵,则称A可相似对角化,即存在可逆阵P使,为A的n个特征值.
令为非奇异矩阵,考察矩阵的线性变换

令线性变换的特征值为,对应的特征向量为,即

将式代入上式,即有或
令或,则式可以写作

比较和两式可知,矩阵A和具有相同的特征值,并且矩阵B的特征向量是矩阵的特征向量的线性变换