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三角形四心竞赛讲义
一、“四心”分类讨论 1
1、外心 1
2、内心 2
3、垂心 3
4、重心 5
5、外心与内心 6
6、重心与内心 6
7、外心与垂心 7
8、外心与重心 8
9、垂心与内心 8
10、垂心、重心、外心 8
旁心 9
二、“四心”的联想 9
1、由内心、重心性质产生的联想 9
2、重心的巧用 11
3、三角形“四心”与一组面积公式 12
三角形各心间的联系 15
与三角形的心有关的几何命题的证明 16
三角形的内心、外心、垂心及重心(以下简称“四心”)、难度大、应用的技巧性强、方法灵活,是考查学生逻辑思维能力和创造思维能力的较佳题型,因此,它是近几年来升学、、93、94、,以期帮助同学们掌握这类问题的思考方法,提高灵活运用有关知识的能力.
一、“四心”分类讨论
1、外心
三解形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心,即外接圆圆心.△ABC的外心一般用字母O表示,它具有如下性质:
(1)外心到三顶点等距,即OA=OB=OC.
(2)∠A=.
如果已知外心或通过分析“挖掘”出外心,与外心有关的几何定理,尤其是圆周角与圆心角关系定理,.
例2证明三角形三边的垂直平分线相交于一点,此点称为三角形的外心.
已知:△ABC中,XX′,YY′,ZZ′分别是BC,AC,AB边的垂直平分线,求证:XX′,YY′,ZZ′相交于一点(图3-111).
分析先证XX′,YY′交于一点O,再证O点必在ZZ′上即可.
证因为XX′,YY′分别是△ABC的BC边与AC边的中垂线,所以XX′,YY′必相交于一点,设为O(否则,XX′∥YY′,那么∠C必等于180°,这是不可能的).因为OB=OC,OC=OA,所以OB=OA,所以O点必在AB的垂直平分线ZZ
′上,所以XX′,YY′,ZZ′相交于一点.
说明由于O点与△ABC的三个顶点A,B,C距离相等,所以以O点为圆心,以OA长为半径作圆,此圆必过A,B,C三点,所以称此圆为三角形的外接圆,O点称为三角形的外心.
例1、如图9-1所示,在△ABC中,AB=AC,任意延长CA到P,再延长AB到Q,使AP=BQ,求证:△ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆.
分析一、O是外心,作△ABC的外接圆⊙O,并作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,连接OP、=OF,BE=AF,从而Rt△OPF≌Rt△OQE,于是∠P=∠Q,从而O、A、P、Q四点共圆.
分析二、延长BA至G,使AG=AP,连接OP、OA、OG、OQ,并作OE⊥AB于E(图略).利用△PAO≌△PGO和△QEO≌△GEO也可证得结论.
例2、如图9-2所示,在△ABC的大边AB上取AN=AC,BM=BC,点P为△ABC 的内心,求证:∠MPN=∠A+∠B.
分析、连接PA、PB、PC及PM、△APC≌△APN,△BPC≌△△PC=PN,PC=PM,即PM=PN=△CMN的外心,此时有∠MPN=2∠MCN.
而∠CAN=90º-∠A,∠BCM=90º-∠B,
故∠ACN+∠BCM=180º-(∠A+∠B),即∠MCN+∠ACB=180º-(∠A+∠B),
则∠MCN=(180º-∠ACB)-(∠A+∠B) = (∠A+∠B).
故∠MPN=2∠MCN=∠A+∠B.
例3、AB为半圆O的直径,其弦AF、BE相交于Q,过E、F分别作半圆的切线得交点P,求证:PQ⊥AB.
分析、延长EP到K,使PK=PE,连KF、AE、EF、BF,直线PQ交AB于H(图9-3).
因∠EQF=∠AQB=(90º-∠1)+(90º+∠2)=∠ABF+∠BAE=∠QFP+∠QEP,又由PK=PE=PF知∠K=∠PFK,故∠EQF+∠K=∠QFK+∠QEK=180º,从而E、Q、F、=PF=PE知,P为△EFK的外心,显然PQ=PE=∠1+∠AQH=∠1+PQF=∠1+∠PFQ=∠1+∠AFP=∠1+∠ABF=90º.由此知QH⊥AH,即PQ⊥AB.
2、内心
三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,即内切圆圆心.△ABC的内心一般用字母I表示,它具有如下性质:
(1)内心到三角形三边等距,且顶点与内心的连线平分顶角.
(2)∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D,则D与顶点B、C、内心I等距(即D为△BCI的外心).
(3)∠BIC=90º+∠A,∠CIA=90+∠B,∠