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函数的概念
数学天才——莱布尼兹
“函数”这个数学名词是莱布尼兹在1694年开始使用的,用以描述现实世界中两个变量之间的依赖关系。莱布尼兹把这类函数称作可导函数,数学家之外的普通人一般接触到的函数即属此类。对于可导函数可以讨论它的极限和导数。此两者就是描述了函数输出值的变化同输入值变化的关系,是微积分学的基础。例如:“神舟”七号载人航天飞船离地面高度的距离随时间的变化而变化,上网费用随时间的变化而变化‥‥‥
一、复习引入:
初中(传统)的函数的定义是什么?初中学过哪些函数?
设在一个变化过程中有两个变量x和y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数. 这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.
初中已经学过:正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。
正比例函数:y=kx
反比例函数:
一次函数:y=kx+b(k≠0,b≠0)
二次函数:y=ax2+bx+c(a≠0)
对于数集A中的每个元素,按照某种对应关系f,在数集B中都能找到唯一的元素与之对应,记作 f:A→B
问题一:
给定集合A={1,2,3,4,5};集合B={3,6,9,12,15}
×3
5
1
3
2
4
.
3
6
9
12
15
A
B
(1)如图,集合A和集合B的元素有什么关系?
(2)集合A中的每个元素在B中能找到几个元素与之对应?
1、函数的定义:
设集合A,B是非空数集,如果按照某种对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,集合B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么称 f:A→B 为从集合A到集合B的一个函数,记作
y = f(x) , x∈A.
则 y=3x , x∈A
即 f(x)=3x , x∈A
5
1
3
2
4
.x
3
6
9
12
15
A
B
×3
→
y
=3x
(1)定义域:x叫自变量
(2)值域:与x值相对应的数y叫做函数值。
自变量x的取值范围(集合A)叫做函数的定义域;
函数值y的取值范围集合{f(x) ︳x∈A}叫做函数的值域。
*值域是由定义域和对应关系决定的。
*如果两个函数的定义域和对应关系完全相同,就知这两个函数相同。
5
1
3
2
4
.
3
6
9
12
15
A
B
×3
定义域为A={1,2,3,4,5}
值域为B={3,6,9,12,15}
注意:形如y=c(c为常数)也是函数,我们称它为常数函数。
对应法则:×3
例题分析
例1:求下列函数的定义域:
-
-
-
-
解:(1)当分母x-3≠0,即x≠3时,分式有意义,所以函数的定义域为:{x|x≠3}
(2)当被开方数x-2≥0,即x≥2时,函数有意义,所以函数的定义域为:{x|x≥2}
(3)当分母x-3≠0且被开方数x-2≥0时,即x≥2且x≠3时,函数有意义,所以函数的定义域为:{x|x≥2且x≠3}
课堂练习一:课本55页《练一练》
答案:
求下列函数的定义域:
(1)当分母x+1≠0,即x≠-1时,分式有意义,所以函数的定义域为:{x|x≠-1}
(2)当被开方数x+2≥0即x≥-2时,函数有意义,所以函数的定义域为:{x|x≥-2}
(3)当x+2≥0且x+1≠0时,即x≥-2且x≠-1时,函数有意义,所以函数的定义域为:{x|x≥-2且x≠-1}
总结:当函数用解析式表示时,函数的定义域就是使这个式子有意义的x的取值范围:
1、f(x)是整式
2、f(x)是分式
3、f(x)是二次根式
4、如果f(x)由几个部分
的数学式子构成的
函数的定义域是R;
函数的定义域是使
分母不为0的实数
的集合;
函数的定义域是
使被开方式不小
于0的实数的集合;
定义域是使各
部分都有意义的
实数集合。