数学系本科毕业论文对两个重要极限的重要性的认识.doc

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本科毕业论文
题目: 对两个重要极限的重要性的认识
专业: 数学与应用数学
系班:数学与信息科学学院**级*班
毕业年份: ****
姓名: ****
学号: *******
指导教师: *****
职称: ****
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对两个重要极限的重要性的认识
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(***********数学与信息科学学院数学与应用数学专业*****)
摘要:通过对两个重要极限重要性的理解和认识, 总结有关两个重要极限的论文成果,指出两个重要极限在微积分的计算过程中起到了重要的桥梁纽带作用,主张学习数学知识不仅局限于课本,要培养提高探究问题的能力,系统全面的看待问题,深刻细致的体会微积分思想的严谨性。
关键词: 重要极限;重要性;证明;应用
绪论
两个重要极限在微积分的计算和整个微积分思想中起着举足轻重的作用,目前,关于这方面的分析已经很成熟,有关于它们的来源,证明,应用和深入扩展,本文系统的总结了部分具有代表性的成果,从而可以直观全面的认识和体会两个重要极限的重要性,对刚接触极限理论,没有深入认识两个重要极限的学生来说,具有指导意义。
《数学分析》课程在讲述关于两个重要极限和
时,着重强调了它在整个极限计算中有重要地位。它能将许多复杂的极限计算迅速简化, 应用非常灵活。因此,这两个重要的极限可以说是全部微积分学计算的基础, 其重要性就不难理解了。试想, 若没有它们, 那么只要遇见微积分相关的计算题, 必须用最基本的方法,有些还不一定求得出来,更不用说由它们推广出的更复杂的应用了。

两个重要极限是极限理论的重要内容, 也是解决极限问题的一种有效方法, 在学生的学习中, 起着重要作用,了解它们的证明方法对充分理解和认识它们是十分必要的,它的证明过程也是对两边夹定理及单调有界数列必有极限这一准则的恰当应用。
:
证明:作单位圆,如图1:
图1
设为圆心角,并设见图不难发现:,即:,即,

(因为,所以上不等式不改变方向)
当改变符号时,及1的值均不变,故对满足的一切,有。
又因为,
所以
而,证毕。
:
先考虑取正整数时的情形:
对于,有不等式:,
即:,
即:
(i)现令,显然,因为
将其代入,所以,所以为单调数列,记作{}。
(ii)又令,
所以,
即对, 又对
所以{}是有界的。
由单调有界定理知存在,并使用来表示,
即

在函数的学习中,我们熟悉的基本初等函数有以下五类:
幂函数(),
指数函数,
对数函数(),
三角函数y=sin x, y=cos x,y=tan x, y=cot x,
反三角函数y=arc sinx, y=arc cosx, y=arc tanx, y=arc cotx。
由基本初等函数经过有限次四则混合运算与符合运算所得到的函数,统称为初等函数,微积分中我们经常需要计算初等函数的导数,微分学的基本概念——导数是建立在极限概念基础上的。即求一个函数f(x)在点x处的导数,就是计算极限
()
当这一极限存在时,其值就是。但这仅仅是停留在导数定义上的,,显然是非常复杂和繁琐的,势必限制导数的广泛应用。事实上,在求函数的导数时,,而只需根据基本初等函数的求导公式及求导法则就可以很方便地求得任何一个初等函数的导数。因此,两个重要极限对于以上六类基本初等函数的求导起到了至关重要的作用。
关于基本初等函数的求导,我们可以大致分为三类函数:第一类是幂函数,第二类是三角函数和反三角函数,第三类是指数函数和对数函数。对于第一类函
数的求导,要利用二项式定理和导数定义便求得。对于第二类函数的求导,需要利用到这个重要极限。对于第三类函数的求导,需要利用到
这个极限。
下面来看一看基本求导公式是如何得来的。
重要极限在三角函数求导过程中的作用
以正弦函数sin

其中应用了第一个重要极限,即(令)。
求得(sin x)’=后,其余的三角函数和反三角函数的导数公式就可以利用多个求导法则得到了。
重要极限在指数函数和幂函数求导过程中的作用
其次,再看看对数函数logx的求导公式的推导过程。由导数定义
其中应用了第二个重要极限,即(令)。
求得了以后,指数函数和幂函数的求导公式就容易得出了。
可见,两个重要极限在导出基本初等函数的求导公式的过程中,特别是涉及三角函数的过程中起到了关键性的作用