高中数学教案全集第八章 圆锥曲线方程 (3).doc

课题:(二)
教学目的:
、对称性、顶点、离心率等几何性质;
、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式;
,注意数与形的结合与转化
教学重点:抛物线的几何性质及其运用
教学难点:抛物线几何性质的运用
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入: 抛物线的几何性质:
标准方程
图形
顶点
对称轴
焦点
准线
离心率
轴
轴
轴
轴
注意强调的几何意义:是焦点到准线的距离
抛物线不是双曲线的一支,抛物线不存在渐近线
二、讲解新课:
:
定义:抛物线上任意一点M与抛物线焦点的连线段,叫做抛物线的焦半径
焦半径公式:
抛物线,
抛物线,
抛物线,
抛物线,
:
(1)位置关系:
相交(两个公共点或一个公共点);相离(无公共点);相切(一个公共点)
下面分别就公共点的个数进行讨论:对于
当直线为,即,直线平行于对称轴时,与抛物线只有唯一的交点
当,设
将代入,消去y,得到
关于x的二次方程(*)
若,相交;,相切;,相离
综上,得:
联立,得关于x的方程
当(二次项系数为零),唯一一个公共点(交点)
当,则
若,两个公共点(交点)
,一个公共点(切点)
,无公共点(相离)
(2)相交弦长:
弦长公式:,其中a和分别是(*)中二次项系数和判别式,k为直线的斜率
当代入消元消掉的是y时,得到,此时弦长公式相应的变为:
(3)焦点弦:
定义:过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。
焦点弦公式:设两交点,可以通过两次焦半径公式得到:
当抛物线焦点在x轴上时,焦点弦只和两焦点的横坐标有关:
抛物线,
抛物线,
当抛物线焦点在y轴上时,焦点弦只和两焦点的纵坐标有关:
抛物线,
抛物线,
(4)通径:
定义:过焦点且垂直于对称轴的相交弦
直接应用抛物线定义,得到通径:
(5)若已知过焦点的直线倾斜角
则
(6)常用结论:
和
和
:
过抛物线上一点可以作一条切线,过切点所作垂直于切线的直线叫做抛物线在这点的法线,抛物线的法线有一条重要性质:
经过抛物线上一点作一直线平行于抛物线的轴,那么经过这一点的法线平分这条直线和这点与焦点连线的夹角如图.
,在光学上,如果把光源放在抛物镜的焦点F处,射出的光线经过抛物镜的反射,变成了平行光线,汽车前灯、探照灯、,也可以把射来的平行光线集中于焦点处,太阳灶就是利用这个原理设计的
:(t为参数)
三、讲解范例:
例正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线上,求这个正三角形的边长.
分析:观察图,正三角形及抛物线都是轴对称图形,如果能证明x轴是它们公共的对称轴,则容易求出三角形边长.
解:如图,设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上,且坐标分别为、,则,
又|OA|=|OB|,所以
即
∵,∴.
由此可得,即线段AB关于x轴对称.
因为x轴垂直于AB,且∠AOx=30°,