5_3相似矩阵 相似矩阵矩阵的对角化
解:
…
引例
这里关键是因为矩阵A和B存在关系式
一. 相似矩阵与相似变换的概念
阶矩阵和相似,反映了这两个矩阵之间的
一种重要关系.
例设
可见:与相似的矩阵并不唯一,也不一定是对角矩阵。
都是的相似矩阵
设为阶方阵
二、相似矩阵与相似变换的性质
证(1)
若与相似,则
与有相同的特征多项式和特征值
(其中为正整数。)
(还可以推出A与B的多项式也相似)
tr(A)=tr(B)
是否与一个对角矩阵相似的问题.
由于相似矩阵有许多共同的性质,对于一个矩阵
我们设法在与相似的矩阵中找一个较简单的
矩阵如对角矩阵,在研究的性质时只需先研究
n 阶矩阵A可对角化
是 A的分别与特征值
三. 利用相似变换将方阵对角化
相对应的n 个线性无关的特征向量.
因为可逆,所以
证:
说明
如果阶矩阵的个特征值互不相等,
则与对角阵相似.
推论
如果的特征方程有重根,此时不一定有
个线性无关的特征向量,从而矩阵不一定能
对角化,但如果能找到个线性无关的特征向量,
还是能对角化,那么当有重根时,能对角化的
充分必要条件是什么呢?
注意:此条件充分,但不必要
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