攻克圆锥曲线解答题策略.doc

攻克圆锥曲线解答题的策略
第一、知识储备:
1. 直线方程的形式
(1)直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。
(2)与直线相关的重要内容
①倾斜角与斜率
②点到直线的距离③夹角公式:
(3)弦长公式
直线上两点间的距离:
或
(4)两条直线的位置关系
①=-1 ②
2、圆锥曲线方程及性质
(1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式)
标准方程:
距离式方程:
参数方程:
(2)、双曲线的方程的形式有两种
标准方程:
距离式方程:
如:已知是椭圆的两个焦点,平面内一个动点M满足则动点M的轨迹是( )
A、双曲线;B、双曲线的一支;C、两条射线;D、一条射线
(5)、焦点三角形面积公式:

第二、方法储备
1、点差法(中点弦问题)
设、,为椭圆的弦中点则有
,;两式相减得
=
2、联立消元法:你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗?经典套路是什么?如果有两个参数怎么办?
设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程,使用判别式,以及根与系数的关系,代入弦长公式,设曲线上的两点,将这两点代入曲线方程得到两个式子,然后-,整体消元······,若有两个字母未知数,则要找到它们的联系,消去一个,比如直线过焦点,则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系,则寻找坐标之间的关系,根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为,就意味着k存在。
例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上,且点A是椭圆短轴的一个端点(点A在y轴正半轴上).
(1)若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点,试求直线BC的方程;
(2)若角A为,AD垂直BC于D,试求点D的轨迹方程.
解:(1)设B(,),C(,),BC中点为(),F(2,0)则有
两式作差有(1)
F(2,0)为三角形重心,所以由,得,由得,代入(1)得
直线BC的方程为
2)由AB⊥AC得(2)
设直线BC方程为,得
,
代入(2)式得
,解得或
直线过定点(0,,设D(x,y),则,即
所以所求点D的轨迹方程是。
4、设而不求法
例2、如图,已知梯形ABCD中,点E分有向线段所成的比为,双曲线过C、D、E三点,且以A、B为焦点当时,求双曲线离心率的取值范围。
解法一:如图,以AB为垂直平分线为轴,直线AB为轴,建立直角坐标系,则CD⊥轴因为双曲线经过点C、D,且以A、B为焦点,由双曲线的对称性知C、D关于轴对称
依题意,记A,C,E,其中为双曲线的半焦距,是梯形的高,由定比分点坐标公式得
,
设双曲线的方程为,则离心率
由点C、E在双曲线上,将点C、E的坐标和代入双曲线方程得
, ①
②
由①式得, ③
将③式代入②式,整理得
,
故
由题设得,
解得
所以双曲线的离心率的取值范围为
分析:考虑为焦半径,可用焦半径公式, 用的横坐标表示,回避的计算, 达到设而不求的解题策略.
解法二:建系同解法一,,
,又,代入整理,由题设得,
解得
所以双曲线的离心率的取值范围为
5、判别式法
例3已知双曲线,直线过点,斜率为,当时,双曲线的上支上有且仅有一点B到直线的距离为,试求的值及此时点B的坐标。
分析1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科,因此,数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手,对照草图,不难想到:过点B作与平行的直线,必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式. 由此出发,可设计如下解题思路:
把直线l’的方程代入双曲线方程,消去y,令判别式
直线l’在l的上方且到直线l的距离为
解题过程略.
分析2:如果从代数推理的角度去思考,就应当把距离用代数式表达,即所谓“有且仅有一点B到直线的距离为”,相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路:
转化为一元二次方程根的问题
求解
问题
关于x的方程有唯一解
简解:设点为双曲线C上支上任一点,则点M到直线的距离为:

于是,问题即可转化为如上关于的方程.
由于,所以,从而有
于是关于的方程



由可知:
方程的二根同正,故恒成立,于是等价于
.
由如上关于的方程有唯一解,得其判别式,就可解得.
例4已知椭圆C:和点P(4,1),过P作直线交椭圆于A、B两点,在线段AB上取点Q,使,求动点Q的轨迹所在曲线的方程.
简解:设,则由可得:,
解之得: (1)
设直线AB的方程为:,代入椭圆C的方程,消去得出关于 x的一元二次方程:
(2)
∴
代入(1),化简得: (3)
与联立,消去得:
在(2