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函数的单调性96563105【专题一】函数的单调性
一、知识整理
1、函数的单调性是指函数值随着自变量的增大而增大(或减小)的性质。
由于单调性是函数的局部性质,所以在说明函数单调性的时候必须说清楚函数在那个区
间上是递增(或递减)的。
2、增函数的定义:,若有,则在区间上是增
函数。
图象示例:
用自然语言可以这样表述:
我们说一个函数在某个区间上是增函数,其意思是说,我们在这个区间上任取两个自变
量和,只要,就一定会有.
注:符号读作:对任意; 读作:存在。
是定义域中的一个区间。
减函数的定义:,若有,则在区间上是减函数。
图象示例:
增减函数的证明必须利用定义去证。
一般而言,图象不能用于证明,证明题只能用数学文字符号语言表述。
二、例题精讲
例1 下图是定义在上的函数的图象,请说出的单调性。
解:函数在,和上是减函数,在上是增函数。
说明:说明单调区间时不能用“”号。
例如:“函数在上是减函数。”这个说法是错误的。
“函数在上是减函数。”这个说法也是错误的。
注意:在上题中,我们可以说函数在和上是减函数,
但不能说在上是减函数。
因为函数在和上是减函数,
但在上不是减函数(因为不满足,都有
)。
例2 证明在上是减函数。
证明:,则
由于,故,,
从而,在上是减函数。
例3 证明在上是增函数。
证明:,则
由于,故,,
从而,在上是增函数。
单调性证明过程可以用以下模式填写:
证明:_______(这里填写所给定的区间),则
……(用、换掉解析式中的)
……(化简化到成为一个乘积形式的整体为止)
由于_________,故__________(这里说明化简最终所得的式子的各部分与0的大小)
从而___0 (这里只能填“”或“”号)
于是在上是____函数。(这里只能填“增”或“减”)
三、练习
1、证明:在上是增函数。
2、证明:在上是增函数。
3、证明:在上是减函数。
4、证明:在上是增函数。
答案:
1、证明:
,则
由于,故,,
从而,在上是增函数。
2、证明:,则
由于,故,,
从而,在上是增函数。
3、证明:,则
由于,故,
从而,在上是减函数。
4、证明:,则
由于,故,,
从而,在上是增函数。