构造正三角形巧解几何问题.doc

构造正三角形巧解几何问题
余凤冈
例1. 如图1,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,P为△ABC内一点,∠PBC=10°,∠ACP=20°,求∠APB的度数。
图1
解:如图1,在△ABC的BC的同侧作等边三角形BCD,连结AD
在△DBA和△CBP中
∠DBA=∠DBC-∠ABC
=60°-50°
=10°
因为∠CBP=10°
所以∠DBA=∠CBP,
因为∠BCP=∠ACB-∠ACP
=50°-20°
=30°
显然 DA平分∠BDC
所以
所以∠BDA=∠BCP,
因为 BD=BC
所以△DBA≌△CBP(ASA)
BA=BP,
即△ABP是等腰三角形。
所以
评注:考虑到作等边三角形后形成∠DBA=60°-50°=10°为证全等创造条件是本题的关键。
例2. 如图2,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,延长AB到D,设AD=BC,连接DC,求∠ACD的度数。
图2
解:如图2,在△ABC的BC的外侧作等边三角形BCE,连结AE
在△ACE和△CAD中,
因为∠ABC=∠ACB
∠ACE=∠ACB+∠BCE
=40°+60°
=100°
所以∠ACE=∠CAD
因为 AC=CA,CE=BC=AD
所以△ACE≌△CAD(SAS)
故∠CEA=∠D
因为 AE平分∠BEC,
有
所以∠D=30°
∠ACD=180°-∠DAC-∠D
=180°-100°-30°
=50°
例3. 如图3,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=20°,在AB上取AD=BC,求∠ACD的度数。
图3
解:在△ABC的BC的同侧作等边三角形BCE,连结AE。
在△ACD和△CAE中,
∠ABC
∠ACE=∠ACB-∠ECB
=80°-60°
=20°
所以∠CAD=∠ACE=20°
AC=CA,AD=BC=CE,
所以△ACD≌△CAE(SAS)
因为 AE平分∠BAC,
所以,
所以∠ACD=∠CAE=10°。
例4. 如图4,已知在四边形ABCD中,∠ABD=12°,∠DBC=36°,∠ACB=48°,∠ACD=24°,求∠ADB的度数。
图4
解:因为∠ABC=∠ABD+∠DBC=12°+36°=48°
又∠ACB=48°
所以△ABC是等腰三角形,
在△ABC中,BC的同侧作等边三角形BCE,连结AE,在△DBC中,
∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD
=180°-36°-(48°+24°)
=72°
所以∠BDC=∠BCD=72°
BD=BC
在△ABE和△ABD中,
∠EBA=∠EBC-∠ABC=60°-48°
=12°=∠DBA
AB=AB,BE=BC=BD
所以△ABE≌△ABD(SAS)
∠BEA=∠BDA
因为 EA平分∠BEC
所以
所以∠BDA=30°。
例5. 如图5,已知在四边形ABCD中