第六节
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一、空间曲线的切线与法平面
二、曲面的切平面与法线
多元函数微分学的几何应用
第九章
复面光滑曲线
切线方程
法线方程
若平面光滑曲线方程为
故在点
切线方程
法线方程
在点
有
有
因
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一、空间曲线的切线与法平面
过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法
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位置.
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限
平面.
点击图中任意点动画开始或暂停
曲线方程为参数方程的情况
切线方程
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此处要求
也是法平面的法向量,
切线的方向向量:
称为曲线的切向量.
如个别为0, 则理解为分子为 0 .
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不全为0,
因此得法平面方程
例1.
求圆柱螺旋线
对应点处的切线方程和法平面方程.
切线方程
法平面方程
即
即
解: 由于
对应的切向量为
在
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, 故
二、曲面的切平面与法线
设有光滑曲面
通过其上定点
对应点 M,
切线方程为
不全为0 .
则在
且
点 M 的切向量为
任意引一条光滑曲线
下面证明:
此平面称为在该点的切平面.
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上过点 M 的任何曲线在该点的切线都
在同一平面上.
证:
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在上,
得
令
由于曲线的任意性,
表明这些切线都在以
为法向量
的平面上,
从而切平面存在.
曲面在点 M 的法向量
法线方程
切平面方程
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曲面
时,
则在点
故当函数
法线方程
令
特别, 当光滑曲面的方程为显式
在点
有连续偏导数时,
切平面方程
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