方阵的伴随矩阵性质探讨.pdf

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第��卷�第�期�高师理科学刊�、���.�����.��
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文章编号:��������������������������
方阵的伴随矩阵性质探讨�
张建航,李宗成�
�西安通信学院数学教研室,陕西西安��������
摘要:回顾了方阵的伴随矩阵概念,讨论了方阵的伴随矩阵的秩、可逆性、行列式、特征值、特�
征向量、对称性、正交性、正定性;同时讨论了对角分块阵的伴随矩阵、�个可逆方阵乘积的伴�
随矩阵、三角矩阵的伴随矩阵,并对每个�生质给出了证明.�
关键词:方阵;伴随矩阵:性质�
中图分类号:����.���文献标识码:��
�方阵的伴随矩阵的概念�
设�是一个,�阶方阵,��是元素口�的代数余子式,则其伴随矩阵�‘定义Ⅲ为�
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�主要结果及其证明�
性质�若�是一个,�阶方阵,�则��‘����嘲.�
性质�若�是一个,�阶方阵,��体�
证明若�����,�,即�是一个,�阶可逆方阵,���≠�,对��‘�����两边取行列式,易知��‘�≠�,�
则���‘��,�;若�����,�—�,则�是一个,�阶奇异方阵,�����,所以��‘��,即�‘的全部列向量都�
是齐次线性方程组���的解,又齐次线性方程组���的解空间的维数为�,所以���‘���;若�
�����,�一�,由矩阵秩的定义,�的全部代数余子式均为�,所以������.�
推论�若�是一个可逆,�阶方阵,则�‘也可逆,且�‘�����一�;��‘���.�
证明�由�����,�时,���‘��,�,即�‘可逆,所以由��‘������,可知�‘�����~,对上式两边取�
行列式,有��‘����.�
推论�若�是一个,�阶可逆方阵,则��‘�‘�����;�一��‘��一��一��‘��.�
证明由于�是可逆方阵,则�‘������~,所以��‘�‘���‘���‘�一。�����,卜��.�
收稿日期:�����������
作者简介:张建航�����一�.男,陕西礼泉人,.������:��������.����
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���高师理科学刊�第��卷�
性质�若�是—个刀阶可逆方阵,则��‘����������;��‘������一.�
性质�若�是,�阶方阵�的一个特征值,�是�关于�的特征向量,则�‘必有特征值���/��,�是�‘�
关于���/�的特征向量.�
证明由题设知,��:�,则������一。�,即�·�:�����
, 命题得证.�
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性质�若�是一个刀阶对称方阵,则�‘也是对称的.�
证明因为����‘���‘���.所以�‘�����‘���‘��.�
性质�若�是一个刀阶正交方阵,则�‘也是一个正交矩阵.�
证明�由�����可得,����‘����‘��‘��,又由性质�,��‘��