任意角的三角函数
?
O
a
b
M
P
c
y
x
?
﹒
﹒
o
如果改变点P在终边上的位置,这三个比值会改变吗?
﹒
∽
诱思探究
M
O
y
x
P(a,b)
(在单位圆中)
以原点O为圆心,以单位
长度为半径的圆,称为单位圆.
y
O
x
1
M
设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点
那么:(1) 叫做的正弦,记作,即;
(2) 叫做的余弦,记作,即;
(3) 叫做的正切,记作,即。
所以,正弦,余弦,正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将他们称为三角函数.
﹒
使比值有意义的角的集合
即为三角函数的定义域.
x
y
o
的终边
说明
(1)正弦就是交点的纵坐标,余弦就是交点
横坐标的比值.
的横坐标,
正切就是
交点的纵坐标与
.
(2) 正弦、
的终边在
横坐标等于0,
无意义,此时
轴上时,点P 的
(3)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,
三角函数可以看成是自变量为实数的函数.
任意角的三角函数的定义过程:
直角三角形中定义锐角三角函数
直角坐标系中定义锐角三角函数
单位圆中定义锐角三角函数
单位圆中定义任意角的三角函数
、余弦和正切值.
在直角坐标系中,作
,易知
的终边与单位圆的交点坐标为
所以
实例剖析
﹒
﹒
,求角
的正弦、余弦和正切值.
解:由已知可得
设角的终边与单位圆交于,
分别过点、作轴的垂线、
于是,
∽
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