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运筹学OPERATIONS RESEARCH
第二章线性规划的对偶理论
2018/3/20
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第二章线性规划的对偶理论 ( Dual Linear Programming, DLP)
原问题与对偶问题
对偶问题的基本性质
影子价格
对偶单纯形法
灵敏度分析
参数线性规划
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§1 对偶问题的提出
一、线性规划单纯形法的矩阵描述
设有线性规划问题的标准形式
将系数矩阵表示成:
初始单纯形表
初始解
非基变量
基变量
0
基可行解
基变量
非基变量
0
初等行变换后
初始表中是 I 的位置,经变换后成为
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其中
记
则
例:书 P36 例10,验证上述公式。
上述公式对于灵敏度分析很有帮助。
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例甲方生产计划问题:
ⅠⅡ能力
设备A 2 2 12
设备B 4 0 16
设备C 0 5 15
利润 2 3
Ⅰ,Ⅱ各生产多少, 可获最大利润?
二、对偶问题的提出
设有原问题
乙方租借设备:
甲方以何种价格将设备A、B、
C租借给乙方比较合理? 请为
其定价。
解: 假设A、B、C的单位租金
分别为。
思路: 就甲方而言, 租金收入应不低于将设备用于自己生产时的利润。
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而就乙方而言,希望甲方的租金收入在满足约束的条件下越小越好,
这样双方才可能达成协议。
于是得到下述的线性规划模型:
所以:生产产品Ⅰ的资源用于出租时,租金收入应满足:
类似的,生产产品Ⅱ的资源用于出租时,租金收入应满足:
总的租金收入:
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原问题
对偶问题
用矩阵将上述原问题对偶问题写出
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即:
原
问
题
对
偶
问
题
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§2 原问题与对偶问题
对于一般的线性规划问题,
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类似于前面的资源定价问题,每一个约束条件对应一个“对偶变量”,它就
相当于给各资源的单位定价。于是我们有如下的对偶规划:
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