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推广
第八章
一元函数微分学
注意: 善于类比, 区别异同
多元函数微分法
及其应用
第八章
第一节
一、区域
二、多元函数的概念
三、多元函数的极限
四、多元函数的连续性
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多元函数的基本概念
多元函数是一元函数的推广, 它保留着一元函数
的许多性质, 同时又因自变量的增多而产生了许多新的性质, 对这些新性质尤其要加以注意. 下面着重讨论二元函数, 由二元函数可以方便地推广到一般的多元函数中去.
一、区域(region)
1. 邻域(neighborhood)
点集
称为点 P0 的邻域.
例如,在平面上,
(圆邻域)
在空间中,
(球邻域)
说明:若不需要强调邻域半径,也可写成
点 P0 的去心邻域记为
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在讨论实际问题中也常使用方邻域,
平面上的方邻域为
。
因为方邻域与圆
邻域可以互相包含.
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2. 区域(region)
(1) 内点、外点、边界点
设有点集 E 及一点 P :
若存在点 P 的某邻域 U(P) E ,
若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E
则称 P 为 E 的内点(interior point);
则称 P 为 E 的外点(outer point) ;
则称 P 为 E 的边界点(boundary point).
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的外点,
显然, E 的内点必属于 E ,
E 的外点必不属于 E ,
E 的
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
(2) 聚点(accumulation point).
若对任意给定的,
点P 的去心
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邻域
内总有E 中的点,
则
称 P 是 E 的聚点.
聚点可以属于 E , 也可以不属于 E
(因为聚点可以为
E 的边界点)
关于聚点的下面三个陈述是等价的:
⑴点 A 的任一空心邻域 Uo( A) 内,都含有属于
E 的点;
⑵存在 E 中互异点列{ Pn } , 使
⑶点 A 的的任一邻域内,都含有属于 E 的无穷多
个点.
集合
E 的内部是什么?
边界?
聚点?
孤立点?
集合
内点?
界点?
聚点?
孤立点?
原点(0,0)是集 E 的什么点?
外点?