2.3 拉普拉斯方程.ppt

例如:
①电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的。
②电子光学系统的静电透镜内部,电场是由分布于电极上的自由电荷决定的。
这些问题的特点是:
自由电荷只出现在一些导体的表面上,在空间中没有其他自由电荷分布。
在许多实际问题中,静电场是由带电导体决定的.
一、拉普拉斯方程
拉普拉斯方程和分离变量法
如果我们选择这些导体的表面作为区域V的边界,则V 内部自由电荷密度ρ=0,电势所满足的泊松方程化为比较简单的情形:
注意:求解区域内ρ=0,产生电场的电荷全部分布于V 的边界上,他们的作用通过边界条件反映出来。所以,这类问题可归结为求拉普拉斯方程满足边界条件的解。
这就是拉普拉斯方程。
二、分离变量法
分离变量法就是将场量的函数表达式中不同坐标相互分离,即将场量分解为单一坐标函数的乘积的形式,求出通解。然后再根据给定的边界条件求出实际问题的特解。
不同坐标系中拉氏方程的通解不同。
拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式
1、直角坐标
(1)令
令
(2)若
(3)若
,与
无关。
注意:在(1)、(2)两种情况中若考虑了某些边界条件, 将与某些正整数有关,它们可取1,2,3,…,只有对它们取和后才得到通解。
2. 球坐标中的通解:
anm, bnm, cnm, dnm为积分常数,在具体问题中由边界条件确定。
若问题具有轴对称性,电势φ不依赖于Φ,通解为
若问题具有球对称性
其中
-----为勒让德函数
3. 柱坐标一般用于二维问题:
二维问题的解:
或写成:
若二维问题又具有轴对称性,则电势与θ无关
即
,
三. 分离变量法的解题步骤:
①根据界面的形状选择适当坐标系。
②建立坐标系,写出场量所满足的方程,写出通解。
③写出边界条件和衔接条件(即:不同区域分界面上的边值关系)。
④根据定解条件,求出通解中的积分常数。
⑤将求出的积分常数代入通解表达式,得到实际
问题的解。
关键步骤:
①充分利用对称性,写出简单的通解。
②正确写出边界条件,不能有遗漏。

1、两无限大平行导体板,相距为,两板间电势
差为V (与无关),一板接地,求两板间的
电势和。
x
y
O
V
Z
解:(1)边界为平面,故应选直角坐标系
下板
,设为参考点
(2)定性分析:因在
(常数),可考虑
与
无关。